与えられた関数 $f(x) = e^{2x+1}$ に対して、以下の2つの問いに答えます。 (1) $f(x)$ の3階までの導関数 $f'(x)$, $f''(x)$, $f'''(x)$ を求めます。 (2) (1)の結果を用いて、$f(x) = e^{2x+1}$ の3次の近似多項式 $P_3(x)$ を求めます。ここで、$P_n(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ です。剰余項は計算する必要はありません。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = e^{2x+1}$ に対して、以下の2つの問いに答えます。

(1) $f(x)$ の3階までの導関数 $f'(x)$, $f''(x)$, $f'''(x)$ を求めます。

(2) (1)の結果を用いて、$f(x) = e^{2x+1}$ の3次の近似多項式 $P_3(x)$ を求めます。ここで、$P_n(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ です。剰余項は計算する必要はありません。

2. 解き方の手順

(1) 導関数の計算

- $f(x) = e^{2x+1}$

- $f'(x) = \frac{d}{dx}e^{2x+1} = 2e^{2x+1}$

- $f''(x) = \frac{d}{dx}f'(x) = \frac{d}{dx}(2e^{2x+1}) = 4e^{2x+1}$

- $f'''(x) = \frac{d}{dx}f''(x) = \frac{d}{dx}(4e^{2x+1}) = 8e^{2x+1}$

(2) 近似多項式の計算

- $P_3(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$

- まず、$f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$ を計算します。

- $f(0) = e^{2(0)+1} = e^1 = e$

- $f'(0) = 2e^{2(0)+1} = 2e^1 = 2e$

- $f''(0) = 4e^{2(0)+1} = 4e^1 = 4e$

- $f'''(0) = 8e^{2(0)+1} = 8e^1 = 8e$

- これらを $P_3(x)$ に代入します。

$P_3(x) = e + 2ex + \frac{4e}{2!}x^2 + \frac{8e}{3!}x^3 = e + 2ex + \frac{4e}{2}x^2 + \frac{8e}{6}x^3 = e + 2ex + 2ex^2 + \frac{4}{3}ex^3$

3. 最終的な答え

(1)

$f'(x) = 2e^{2x+1}$

$f''(x) = 4e^{2x+1}$

$f'''(x) = 8e^{2x+1}$

(2)

$P_3(x) = e + 2ex + 2ex^2 + \frac{4}{3}ex^3$