不等式 $2\sin^2\theta + 5\cos\theta < 4$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $2\sin^2\theta + 5\cos\theta < 4$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ であるから、

$2(1-\cos^2\theta) + 5\cos\theta < 4$

$2-2\cos^2\theta + 5\cos\theta < 4$

$-2\cos^2\theta + 5\cos\theta - 2 < 0$

$2\cos^2\theta - 5\cos\theta + 2 > 0$

ここで、$x = \cos\theta$ とおくと、

$2x^2 - 5x + 2 > 0$

$(2x-1)(x-2) > 0$

したがって、$x < \frac{1}{2}$ または $x > 2$

$-1 \le \cos\theta \le 1$ であるから、$x > 2$ は不適。

よって、$\cos\theta < \frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\cos\theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

したがって、$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$