実数 $p, q$ を定数とする。関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx$ について、曲線 $y=f(x)$ が点 $(2, 0)$ で $x$ 軸に接する。 (1) $p, q$ の値を求めよ。 (2) 関数 $f(x)$ の極大値を求めよ。 (3) 点 $(2, 0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $l$ とする。曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $p, q$ を定数とする。関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx$ について、曲線 $y=f(x)$ が点 $(2, 0)$ で $x$ 軸に接する。

(1) $p, q$ の値を求めよ。

(2) 関数 $f(x)$ の極大値を求めよ。

(3) 点 $(2, 0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $l$ とする。曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = f(x)$ が点 $(2, 0)$ で $x$ 軸に接するので、$f(2) = 0$ かつ $f'(2) = 0$ が成り立つ。

まず、$f(2) = 2^3 + p(2^2) + q(2) = 8 + 4p + 2q = 0$。これを整理すると、

$2p + q = -4$　...(1)

次に、$f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ より、$f'(2) = 3(2^2) + 2p(2) + q = 12 + 4p + q = 0$。これを整理すると、

$4p + q = -12$　...(2)

(2) - (1) より、$2p = -8$, よって $p = -4$。

これを (1) に代入すると、$2(-4) + q = -4$, よって $q = 4$。

したがって、$p = -4, q = 4$。

(2) $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x = x(x^2 - 4x + 4) = x(x-2)^2$

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 = (3x - 2)(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \frac{2}{3}, 2$。

増減表は次のようになる。

| x | ... | 2/3 | ... | 2 | ... |

| ---- | ------ | ----- | ------ | --- | ------ |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 0 | 増加 |

$x = \frac{2}{3}$ のとき、極大値 $f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}(\frac{2}{3}-2)^2 = \frac{2}{3}(-\frac{4}{3})^2 = \frac{2}{3} \times \frac{16}{9} = \frac{32}{27}$

(3) 点 $(2, 0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $l$ とする。

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点の座標は $(t, t(t-2)^2)$ であり、接線の傾きは $f'(t) = 3t^2 - 8t + 4$。

接線の方程式は $y - t(t-2)^2 = (3t^2 - 8t + 4)(x - t)$。

この直線が点 $(2, 0)$ を通るので、$0 - t(t-2)^2 = (3t^2 - 8t + 4)(2 - t)$。

$-t(t^2 - 4t + 4) = (3t^2 - 8t + 4)(2 - t)$

$-t^3 + 4t^2 - 4t = 6t^2 - 16t + 8 - 3t^3 + 8t^2 - 4t$

$2t^3 - 10t^2 + 16t - 8 = 0$

$t^3 - 5t^2 + 8t - 4 = 0$

$(t-1)(t^2 - 4t + 4) = 0$

$(t-1)(t-2)^2 = 0$

$t = 1, 2$。$t=2$ は $x$ 軸との接点なので、求める接線の $x$ 座標は $t = 1$。

$t = 1$ のとき、接線の傾きは $f'(1) = 3(1)^2 - 8(1) + 4 = 3 - 8 + 4 = -1$。

したがって、直線 $l$ の方程式は $y - 1(1-2)^2 = -1(x - 1)$, $y - 1 = -x + 1$, $y = -x + 2$。

曲線 $C$ と直線 $l$ の交点を求める。

$x(x-2)^2 = -x + 2$

$x(x^2 - 4x + 4) + x - 2 = 0$

$x^3 - 4x^2 + 4x + x - 2 = 0$

$x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0$

$(x-1)(x^2 - 3x + 2) = 0$

$(x-1)(x-1)(x-2) = 0$

$(x-1)^2 (x-2) = 0$

$x = 1, 2$。

面積 $S = \int_{1}^{2} \{-x+2 - (x^3 - 4x^2 + 4x)\} dx = \int_{1}^{2} (-x^3 + 4x^2 - 5x + 2) dx$

$= [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x]_{1}^{2} = (-\frac{16}{4} + \frac{32}{3} - \frac{20}{2} + 4) - (-\frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{5}{2} + 2)$

$= (-4 + \frac{32}{3} - 10 + 4) - (-\frac{3}{12} + \frac{16}{12} - \frac{30}{12} + \frac{24}{12})$

$= (\frac{32}{3} - 10) - (\frac{7}{12}) = \frac{32 - 30}{3} - \frac{7}{12} = \frac{2}{3} - \frac{7}{12} = \frac{8 - 7}{12} = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $p = -4, q = 4$

(2) 極大値：$\frac{32}{27}$

(3) 面積：$\frac{1}{12}$