与えられた問題は、以下の3つの部分から構成されています。 (i) 関数 $f(x) = x^2 + px + q$ について、$f(a+h) = f(a) + f'(a+\theta h)h$ を満たす $\theta$ を求める。 (ii) 関数 $y = \sqrt{x}\log x$, $y = \frac{x-2}{x+1}$ の微分 $dy$ を求める。 (iii) 関数 $e^x$, $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ の原点における一次近似式を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の3つの部分から構成されています。

(i) 関数 $f(x) = x^2 + px + q$ について、$f(a+h) = f(a) + f'(a+\theta h)h$ を満たす $\theta$ を求める。

(ii) 関数 $y = \sqrt{x}\log x$, $y = \frac{x-2}{x+1}$ の微分 $dy$ を求める。

(iii) 関数 $e^x$, $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ の原点における一次近似式を求める。

2. 解き方の手順

(i) $f(x) = x^2 + px + q$ について、

$f(a+h) = (a+h)^2 + p(a+h) + q = a^2 + 2ah + h^2 + pa + ph + q$

$f(a) = a^2 + pa + q$

$f'(x) = 2x + p$

$f'(a+\theta h) = 2(a+\theta h) + p = 2a + 2\theta h + p$

$f(a+h) = f(a) + f'(a+\theta h)h$ より、

$a^2 + 2ah + h^2 + pa + ph + q = a^2 + pa + q + (2a + 2\theta h + p)h$

$a^2 + 2ah + h^2 + pa + ph + q = a^2 + pa + q + 2ah + 2\theta h^2 + ph$

$h^2 = 2\theta h^2$

$1 = 2\theta$

$\theta = \frac{1}{2}$

(ii)

$y = \sqrt{x}\log x$ について、積の微分公式より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\log x + \sqrt{x}\frac{1}{x} = \frac{\log x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\log x + 2}{2\sqrt{x}}$

よって、$dy = \frac{\log x + 2}{2\sqrt{x}}dx$

$y = \frac{x-2}{x+1}$ について、商の微分公式より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)(1) - (x-2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 2}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$

よって、$dy = \frac{3}{(x+1)^2}dx$

(iii)

$f(x) = e^x$ について、$f'(x) = e^x$

原点における一次近似式は、$f(0) + f'(0)x = e^0 + e^0 x = 1 + x$

$g(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}} = (1+x)^{-1/2}$ について、$g'(x) = -\frac{1}{2}(1+x)^{-3/2}$

原点における一次近似式は、$g(0) + g'(0)x = (1+0)^{-1/2} - \frac{1}{2}(1+0)^{-3/2} x = 1 - \frac{1}{2}x$

3. 最終的な答え

(i) $\theta = \frac{1}{2}$

(ii) $y = \sqrt{x}\log x$ のとき、$dy = \frac{\log x + 2}{2\sqrt{x}}dx$

　　$y = \frac{x-2}{x+1}$ のとき、$dy = \frac{3}{(x+1)^2}dx$

(iii) $e^x$ の原点における一次近似式は $1+x$

　　$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ の原点における一次近似式は $1 - \frac{1}{2}x$