$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sqrt{2}\sin\theta + \sqrt{2}\cos\theta \le -\sqrt{3}$ の解として正しいものを、次の1〜4の中から1つ選びなさい。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sqrt{2}\sin\theta + \sqrt{2}\cos\theta \le -\sqrt{3}$ の解として正しいものを、次の1〜4の中から1つ選びなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$\sqrt{2}\sin\theta + \sqrt{2}\cos\theta = \sqrt{2} (\sin\theta + \cos\theta)$ なので、

$\sqrt{2}(\sin\theta + \cos\theta) \le -\sqrt{3}$

両辺を $\sqrt{2}$ で割ると

$\sin\theta + \cos\theta \le -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

次に、三角関数の合成を行います。

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ であるから、

$\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le -\frac{\sqrt{6}}{2}$

両辺を $\sqrt{2}$ で割ると

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$

ここで、$\alpha = \theta + \frac{\pi}{4}$ とおくと、不等式は $\sin\alpha \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \alpha < 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$ です。

$\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\alpha$ は、$\alpha = \frac{4\pi}{3}$ と $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ です。

よって、$\frac{4\pi}{3} \le \alpha \le \frac{5\pi}{3}$ となります。

$\alpha = \theta + \frac{\pi}{4}$ を代入すると、

$\frac{4\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{3}$

各辺から $\frac{\pi}{4}$ を引くと、

$\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$

$\frac{16\pi - 3\pi}{12} \le \theta \le \frac{20\pi - 3\pi}{12}$

$\frac{13\pi}{12} \le \theta \le \frac{17\pi}{12}$

3. 最終的な答え

選択肢の中から、$\frac{13\pi}{12} \le \theta \le \frac{17\pi}{12}$ を満たすのは、選択肢2です。

答え: 2