3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の極大値、極小値を与える $x$ の値を求める。 (2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ を全て求める。 (3) $0 \le a \le 1$ において、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $g(a)$ とするとき、$y = g(a)$ のグラフを描き、その最大値を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の極大値、極小値を与える $x$ の値を求める。

(2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ を全て求める。

(3) $0 \le a \le 1$ において、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $g(a)$ とするとき、$y = g(a)$ のグラフを描き、その最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の微分を計算し、極値を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 6x + 2 = 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき極大値をとり、$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき極小値をとる。

$f(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9}\sqrt{3}$

$f(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1 + \frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{2}{9}\sqrt{3}$

(2) $f(a) = f(2a)$ を満たす $a$ を求める。

$a^3 - 3a^2 + 2a = (2a)^3 - 3(2a)^2 + 2(2a)$

$a^3 - 3a^2 + 2a = 8a^3 - 12a^2 + 4a$

$7a^3 - 9a^2 + 2a = 0$

$a(7a^2 - 9a + 2) = 0$

$a(7a-2)(a-1) = 0$

$a = 0, \frac{2}{7}, 1$

(3) $0 \le a \le 1$ において、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $g(a)$ とする。

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x = x(x-1)(x-2)$

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

$f'(x) = 0$ のとき $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x = 0, 1, 2$ で $f(x) = 0$ となる。

$0 \le a \le 1$ において、

$a \le x \le 2a$

$g(a) = \max_{a \le x \le 2a} f(x)$

$a = 0$ のとき、$0 \le x \le 0$ なので $g(0) = f(0) = 0$

$a = 1$ のとき、$1 \le x \le 2$ なので $g(1) = \max_{1 \le x \le 2} f(x) = 0$

$0 \le a \le 1/2$のとき、$1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ は、$a \le x \le 2a$ に入らない

$f(a)$と$f(2a)$の大きい方が$g(a)$となる

$a=2/7, f(a)=f(2a)$

$a > 2/7$ のときは $2a < 1 < 2$ なので、$x=1$の場合を考慮する。

$2/7 < a < 1/2$のとき、$g(a) = f(a)$

$1/2 < a < 1$のとき、$1< 2a <2$。$1 \le x \le 2$ なので $g(a) = 0$

グラフは省略

$g(a)$の最大値は、$a=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$のとき，$g(1-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9}\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

ア: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

イ: $\frac{2\sqrt{3}}{9}$

ウ: $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

エ: $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$

オ: $0, \frac{2}{7}, 1$

$g(a)$ の最大値: $\frac{2\sqrt{3}}{9}$