与えられた関数 $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$ を解析する問題のようです。具体的に何を求められているのかは不明ですが、ここでは極値の計算をすることにします。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$ を解析する問題のようです。具体的に何を求められているのかは不明ですが、ここでは極値の計算をすることにします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 6x - 9$

次に、導関数が0になる点を求めます。これは極値をとる候補点です。

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

両辺を3で割ると、

$x^2 + 2x - 3 = 0$

この二次方程式を因数分解します。

$(x+3)(x-1) = 0$

したがって、$x = -3$ または $x = 1$ が極値の候補点です。

次に、これらの候補点が実際に極値であるかを確認するために、二階微分を計算します。

$y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 6x + 6$

$x = -3$ のとき、$y'' = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12 < 0$ なので、$x = -3$ で極大値をとります。

$x = 1$ のとき、$y'' = 6(1) + 6 = 6 + 6 = 12 > 0$ なので、$x = 1$ で極小値をとります。

極大値と極小値を求めます。

$x = -3$ のとき、$y = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28$

$x = 1$ のとき、$y = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4$

3. 最終的な答え

極大値：$x = -3$ のとき $y = 28$

極小値：$x = 1$ のとき $y = -4$