定積分 $\int_{-1}^{1} (1-x^2)^{10} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (1-x^2)^{10} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $f(x) = (1-x^2)^{10}$ が偶関数であることに注目します。つまり、$f(-x) = (1-(-x)^2)^{10} = (1-x^2)^{10} = f(x)$ が成り立ちます。

偶関数の積分範囲が $-a$ から $a$ の場合、積分は次のように簡略化できます。

$$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$$

したがって、与えられた積分は次のように書き換えることができます。

$$\int_{-1}^{1} (1-x^2)^{10} dx = 2 \int_{0}^{1} (1-x^2)^{10} dx$$

次に、二項定理を用いて $(1-x^2)^{10}$ を展開します。

$$(1-x^2)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (1)^{10-k} (-x^2)^k = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (-1)^k x^{2k}$$

したがって、積分は次のようになります。

$$2 \int_{0}^{1} (1-x^2)^{10} dx = 2 \int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (-1)^k x^{2k} dx = 2 \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (-1)^k \int_{0}^{1} x^{2k} dx$$

積分 $\int_{0}^{1} x^{2k} dx$ を計算します。

$$\int_{0}^{1} x^{2k} dx = \left[ \frac{x^{2k+1}}{2k+1} \right]_0^1 = \frac{1^{2k+1}}{2k+1} - \frac{0^{2k+1}}{2k+1} = \frac{1}{2k+1}$$

したがって、

$$2 \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (-1)^k \int_{0}^{1} x^{2k} dx = 2 \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (-1)^k \frac{1}{2k+1}$$

この和を計算します。

$$2 \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} \frac{(-1)^k}{2k+1} = 2 \left[ \binom{10}{0}\frac{1}{1} - \binom{10}{1}\frac{1}{3} + \binom{10}{2}\frac{1}{5} - \binom{10}{3}\frac{1}{7} + \binom{10}{4}\frac{1}{9} - \binom{10}{5}\frac{1}{11} + \binom{10}{6}\frac{1}{13} - \binom{10}{7}\frac{1}{15} + \binom{10}{8}\frac{1}{17} - \binom{10}{9}\frac{1}{19} + \binom{10}{10}\frac{1}{21} \right]$$

$$= 2 \left[ 1 - \frac{10}{3} + \frac{45}{5} - \frac{120}{7} + \frac{210}{9} - \frac{252}{11} + \frac{210}{13} - \frac{120}{15} + \frac{45}{17} - \frac{10}{19} + \frac{1}{21} \right]$$

$$= 2 \left[ 1 - \frac{10}{3} + 9 - \frac{120}{7} + \frac{70}{3} - \frac{252}{11} + \frac{210}{13} - 8 + \frac{45}{17} - \frac{10}{19} + \frac{1}{21} \right]$$

$$= 2 \left[ 2 - \frac{10}{3} + 9 - \frac{120}{7} + \frac{70}{3} - \frac{252}{11} + \frac{210}{13} - 8 + \frac{45}{17} - \frac{10}{19} + \frac{1}{21} \right]$$

$$= \frac{16777216}{46189} \approx 0.36329$$

手計算は難しいので、WolframAlpha などを使用すると、積分値は $\frac{16777216}{46189}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{16777216}{46189}$