関数 $y = \arctan(\frac{v}{\mu})$ を $\mu$ で微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \arctan(\frac{v}{\mu})$ を $\mu$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $\mu$ で微分することを $\frac{dy}{d\mu}$ と表します。ここで、$v$ は $\mu$ の関数ではないと仮定します。

$\arctan(x)$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ であることを用います。

連鎖律 (chain rule) を適用すると、

$\frac{dy}{d\mu} = \frac{1}{1 + (\frac{v}{\mu})^2} \cdot \frac{d}{d\mu}(\frac{v}{\mu})$

次に、$\frac{d}{d\mu}(\frac{v}{\mu})$ を計算します。$v$ は定数なので、

$\frac{d}{d\mu}(\frac{v}{\mu}) = v \cdot \frac{d}{d\mu}(\mu^{-1}) = v \cdot (-1) \mu^{-2} = -\frac{v}{\mu^2}$

したがって、

$\frac{dy}{d\mu} = \frac{1}{1 + (\frac{v}{\mu})^2} \cdot (-\frac{v}{\mu^2})$

$\frac{dy}{d\mu} = \frac{1}{1 + \frac{v^2}{\mu^2}} \cdot (-\frac{v}{\mu^2}) = \frac{1}{\frac{\mu^2 + v^2}{\mu^2}} \cdot (-\frac{v}{\mu^2}) = \frac{\mu^2}{\mu^2 + v^2} \cdot (-\frac{v}{\mu^2})$

$\frac{dy}{d\mu} = -\frac{v}{\mu^2 + v^2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{v}{\mu^2 + v^2}$