定積分 $\int_{-1}^{1} (1 - x^2)^{10} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (1 - x^2)^{10} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

被積分関数 $f(x) = (1 - x^2)^{10}$ を考えます。

$f(-x) = (1 - (-x)^2)^{10} = (1 - x^2)^{10} = f(x)$ となるため、$f(x)$ は偶関数です。

偶関数の積分に関する性質 $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ を利用すると、

$\int_{-1}^{1} (1 - x^2)^{10} dx = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2)^{10} dx$

となります。

ここで、$\int_{0}^{1} (1 - x^2)^{10} dx$ を計算します。

まず、二項定理を用いて $(1 - x^2)^{10}$ を展開します。

$(1 - x^2)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (1)^{10-k} (-x^2)^k = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (-1)^k x^{2k}$

したがって、

$\int_{0}^{1} (1 - x^2)^{10} dx = \int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (-1)^k x^{2k} dx = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (-1)^k \int_{0}^{1} x^{2k} dx$

$\int_{0}^{1} x^{2k} dx = \left[ \frac{x^{2k+1}}{2k+1} \right]_{0}^{1} = \frac{1^{2k+1}}{2k+1} - \frac{0^{2k+1}}{2k+1} = \frac{1}{2k+1}$

したがって、

$\int_{0}^{1} (1 - x^2)^{10} dx = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (-1)^k \frac{1}{2k+1}$

$= \binom{10}{0} \frac{1}{1} - \binom{10}{1} \frac{1}{3} + \binom{10}{2} \frac{1}{5} - \binom{10}{3} \frac{1}{7} + \binom{10}{4} \frac{1}{9} - \binom{10}{5} \frac{1}{11} + \binom{10}{6} \frac{1}{13} - \binom{10}{7} \frac{1}{15} + \binom{10}{8} \frac{1}{17} - \binom{10}{9} \frac{1}{19} + \binom{10}{10} \frac{1}{21}$

$= 1 - 10 \cdot \frac{1}{3} + 45 \cdot \frac{1}{5} - 120 \cdot \frac{1}{7} + 210 \cdot \frac{1}{9} - 252 \cdot \frac{1}{11} + 210 \cdot \frac{1}{13} - 120 \cdot \frac{1}{15} + 45 \cdot \frac{1}{17} - 10 \cdot \frac{1}{19} + \frac{1}{21}$

$= 1 - \frac{10}{3} + 9 - \frac{120}{7} + \frac{70}{3} - \frac{252}{11} + \frac{210}{13} - 8 + \frac{45}{17} - \frac{10}{19} + \frac{1}{21}$

$= \frac{6546668864}{2327925695} \approx 0.43$

したがって、

$\int_{-1}^{1} (1 - x^2)^{10} dx = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2)^{10} dx = 2 \cdot \frac{6546668864}{2327925695} = \frac{13093337728}{2327925695}$

3. 最終的な答え

$\frac{13093337728}{2327925695}$