次の不等式を示す問題です。 (1) $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} < \sin x < x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \quad (0 < x < \pi)$ (2) $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} < e^x \quad (0 < x, n \in \mathbb{N})$ (3) $e^x < \frac{1}{1-x} \quad (0 < x < 1)$

1. 問題の内容

次の不等式を示す問題です。

(1) $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} < \sin x < x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \quad (0 < x < \pi)$

(2) $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} < e^x \quad (0 < x, n \in \mathbb{N})$

(3) $e^x < \frac{1}{1-x} \quad (0 < x < 1)$

2. 解き方の手順

(1) マクローリン展開の剰余項を利用して証明します。$\sin x$ のマクローリン展開は、$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$ であり、これは交代級数であるため、剰余項の絶対値は次の項の絶対値よりも小さくなります。

$\sin x$ のマクローリン展開を $n$ 次で打ち切ったときの剰余項を $R_n(x)$ とすると、$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + R_7(x)$ と書けます。$R_7(x)$ の符号は正であるため、$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} < \sin x$ が成立します。

また、$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + R_5(x)$ と書けます。$R_5(x)$ の符号は負であるため、$\sin x < x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}$ が成立します。

(2) $e^x$ のマクローリン展開は $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ です。与えられた不等式の左辺は $e^x$ のマクローリン展開の $n$ 次までの和です。$e^x$ のマクローリン展開の各項は正であるため、$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} < e^x$ が成立します。

(3) $e^x$ のマクローリン展開は $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ です。

$\frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開（等比級数）は $1 + x + x^2 + x^3 + \dots$ です。

$0 < x < 1$ のとき、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots < 1 + x + x^2 + x^3 + \dots = \frac{1}{1-x}$ が成立します。なぜなら、$\frac{x^n}{n!} < x^n$ が $n \geq 2$ で成り立つからです。

3. 最終的な答え

(1) $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} < \sin x < x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \quad (0 < x < \pi)$

(2) $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} < e^x \quad (0 < x, n \in \mathbb{N})$

(3) $e^x < \frac{1}{1-x} \quad (0 < x < 1)$