$E = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 1\}$ と定義される領域$E$上で定義された連続関数 $f: E \to \mathbb{R}$ を考える。$f$ の $E$ 上での最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。$m < M$ であるとき、任意の $m < r < M$ を満たす実数 $r$ に対して, $f(a, b) = r$ を満たす $(a, b) \in E$ が存在することを証明せよ。

1. 問題の内容

$E = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 1\}$ と定義される領域$E$上で定義された連続関数 $f: E \to \mathbb{R}$ を考える。$f$ の $E$ 上での最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。$m < M$ であるとき、任意の $m < r < M$ を満たす実数 $r$ に対して, $f(a, b) = r$ を満たす $(a, b) \in E$ が存在することを証明せよ。

2. 解き方の手順

$f$ の $E$ 上での最大値を $M$, 最小値を $m$ とし、$m < M$ であると仮定する。このとき、$f(x_1, y_1) = m$ かつ $f(x_2, y_2) = M$ を満たす点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in E$ が存在する。

$E$ は連結なので、$(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ を結ぶ $E$ 内の連続な曲線 $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ が存在する。ここで $t \in [0, 1]$ であり, $\gamma(0) = (x_1, y_1)$ かつ $\gamma(1) = (x_2, y_2)$ である。

関数 $g(t) = f(\gamma(t)) = f(x(t), y(t))$ を定義する。$g(t)$ は $t \in [0, 1]$ の連続関数である。

$g(0) = f(\gamma(0)) = f(x_1, y_1) = m$ であり、$g(1) = f(\gamma(1)) = f(x_2, y_2) = M$ である。

$m < r < M$ を満たす任意の実数 $r$ を考える。中間値の定理より、ある $t_0 \in (0, 1)$ が存在して、$g(t_0) = r$ となる。

したがって、$f(\gamma(t_0)) = f(x(t_0), y(t_0)) = r$ である。ここで $(a, b) = (x(t_0), y(t_0))$ とおくと、$(a, b) \in E$ かつ $f(a, b) = r$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$m < r < M$ を満たす任意の実数 $r$ に対して、$f(a, b) = r$ を満たす $(a, b) \in E$ が存在する。