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与えられた7つの関数それぞれについて、増減表を作成し、グラフの概形を描く。 (1) $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$ (2) $y = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x - 2$ (3) $y = -x^3 - 3x^2 + 9x - 1$ (4) $y = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ (5) $y = -x^3 + 9x^2 - 27x + 24$ (6) $y = \frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + 3x + 2$ (7) $y = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{2}{3}$

解析学微分増減グラフ極値三次関数
2025/7/16

1. 問題の内容

与えられた7つの関数それぞれについて、増減表を作成し、グラフの概形を描く。
(1) y=x3+3x2−9x+1y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1
(2) y=−13x3+2x2−3x−2y = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x - 2
(3) y=−x3−3x2+9x−1y = -x^3 - 3x^2 + 9x - 1
(4) y=x3−6x2+12x−8y = x^3 - 6x^2 + 12x - 8
(5) y=−x3+9x2−27x+24y = -x^3 + 9x^2 - 27x + 24
(6) y=43x3−4x2+3x+2y = \frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + 3x + 2
(7) y=−12x3+94x2−32x+23y = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{2}{3}

2. 解き方の手順

関数の増減表を作成し、グラフの概形を描く一般的な手順は以下の通りです。

1. **微分**: 関数 $y = f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

2. **臨界点**: $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これが臨界点です。

3. **増減表**: 臨界点に基づいて数直線を分割し、各区間で $f'(x)$ の符号を調べます。

* f′(x)>0f'(x) > 0 ならば、f(x)f(x) は増加します。
* f′(x)<0f'(x) < 0 ならば、f(x)f(x) は減少します。
* f′(x)=0f'(x) = 0 ならば、f(x)f(x) は極大または極小値を取ります。

4. **極値**: 極大値と極小値を計算します。

5. **グラフ**: 増減表を基にグラフの概形を描きます。必要に応じて、y切片やx切片も求めます。

各関数について、上記の手順を適用します。
**(1) y=x3+3x2−9x+1y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1**
* y′=3x2+6x−9=3(x2+2x−3)=3(x+3)(x−1)y' = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x+3)(x-1)
* y′=0y' = 0 より、x=−3,1x = -3, 1
* 増減表
| x | ... | -3 | ... | 1 | ... |
| ---- | ----- | ---- | ----- | ---- | ----- |
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |
* x=−3x = -3 のとき、y=(−3)3+3(−3)2−9(−3)+1=−27+27+27+1=28y = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28 (極大値)
* x=1x = 1 のとき、y=(1)3+3(1)2−9(1)+1=1+3−9+1=−4y = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4 (極小値)
**(2) y=−13x3+2x2−3x−2y = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x - 2**
* y′=−x2+4x−3=−(x2−4x+3)=−(x−1)(x−3)y' = -x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x-1)(x-3)
* y′=0y' = 0 より、x=1,3x = 1, 3
* 増減表
| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |
| ---- | ----- | ---- | ----- | ---- | ----- |
| y' | - | 0 | + | 0 | - |
| y | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |
* x=1x = 1 のとき、y=−13(1)3+2(1)2−3(1)−2=−13+2−3−2=−103y = -\frac{1}{3}(1)^3 + 2(1)^2 - 3(1) - 2 = -\frac{1}{3} + 2 - 3 - 2 = -\frac{10}{3} (極小値)
* x=3x = 3 のとき、y=−13(3)3+2(3)2−3(3)−2=−9+18−9−2=−2y = -\frac{1}{3}(3)^3 + 2(3)^2 - 3(3) - 2 = -9 + 18 - 9 - 2 = -2 (極大値)
**(3) y=−x3−3x2+9x−1y = -x^3 - 3x^2 + 9x - 1**
* y′=−3x2−6x+9=−3(x2+2x−3)=−3(x+3)(x−1)y' = -3x^2 - 6x + 9 = -3(x^2 + 2x - 3) = -3(x+3)(x-1)
* y′=0y' = 0 より、x=−3,1x = -3, 1
* 増減表
| x | ... | -3 | ... | 1 | ... |
| ---- | ----- | ---- | ----- | ---- | ----- |
| y' | - | 0 | + | 0 | - |
| y | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |
* x=−3x = -3 のとき、y=−(−3)3−3(−3)2+9(−3)−1=27−27−27−1=−28y = -(-3)^3 - 3(-3)^2 + 9(-3) - 1 = 27 - 27 - 27 - 1 = -28 (極小値)
* x=1x = 1 のとき、y=−(1)3−3(1)2+9(1)−1=−1−3+9−1=4y = -(1)^3 - 3(1)^2 + 9(1) - 1 = -1 - 3 + 9 - 1 = 4 (極大値)
**(4) y=x3−6x2+12x−8y = x^3 - 6x^2 + 12x - 8**
* y′=3x2−12x+12=3(x2−4x+4)=3(x−2)2y' = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x^2 - 4x + 4) = 3(x-2)^2
* y′=0y' = 0 より、x=2x = 2
* 増減表
| x | ... | 2 | ... |
| ---- | ----- | ---- | ----- |
| y' | + | 0 | + |
| y | 増加 | | 増加 |
* x=2x = 2 のとき、y=(2)3−6(2)2+12(2)−8=8−24+24−8=0y = (2)^3 - 6(2)^2 + 12(2) - 8 = 8 - 24 + 24 - 8 = 0
* x=2x=2 で傾きが0になるが、極値ではない。（変曲点）
**(5) y=−x3+9x2−27x+24y = -x^3 + 9x^2 - 27x + 24**
* y′=−3x2+18x−27=−3(x2−6x+9)=−3(x−3)2y' = -3x^2 + 18x - 27 = -3(x^2 - 6x + 9) = -3(x-3)^2
* y′=0y' = 0 より、x=3x = 3
* 増減表
| x | ... | 3 | ... |
| ---- | ----- | ---- | ----- |
| y' | - | 0 | - |
| y | 減少 | | 減少 |
* x=3x = 3 のとき、y=−(3)3+9(3)2−27(3)+24=−27+81−81+24=−3y = -(3)^3 + 9(3)^2 - 27(3) + 24 = -27 + 81 - 81 + 24 = -3
* x=3x=3 で傾きが0になるが、極値ではない。（変曲点）
**(6) y=43x3−4x2+3x+2y = \frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + 3x + 2**
* y′=4x2−8x+3=(2x−1)(2x−3)y' = 4x^2 - 8x + 3 = (2x - 1)(2x - 3)
* y′=0y' = 0 より、x=12,32x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}
* 増減表
| x | ... | 1/2 | ... | 3/2 | ... |
| ---- | ----- | ---- | ----- | ---- | ----- |
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |
* x=12x = \frac{1}{2} のとき、y=43(12)3−4(12)2+3(12)+2=424−1+32+2=16−1+92=1−6+276=226=113y = \frac{4}{3}(\frac{1}{2})^3 - 4(\frac{1}{2})^2 + 3(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{4}{24} - 1 + \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{6} - 1 + \frac{9}{2} = \frac{1 - 6 + 27}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} (極大値)
* x=32x = \frac{3}{2} のとき、y=43(32)3−4(32)2+3(32)+2=43(278)−4(94)+92+2=92−9+92+2=9−9+2=2y = \frac{4}{3}(\frac{3}{2})^3 - 4(\frac{3}{2})^2 + 3(\frac{3}{2}) + 2 = \frac{4}{3}(\frac{27}{8}) - 4(\frac{9}{4}) + \frac{9}{2} + 2 = \frac{9}{2} - 9 + \frac{9}{2} + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 (極小値)
**(7) y=−12x3+94x2−32x+23y = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{2}{3}**
* y′=−32x2+92x−32=−32(x2−3x+1)y' = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x^2 - 3x + 1)
* y′=0y' = 0 より、x=3±52x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}
* 増減表
| x | ... | 3−52\frac{3-\sqrt{5}}{2} | ... | 3+52\frac{3+\sqrt{5}}{2} | ... |
| ---- | ----- | ------------------------ | ----- | ------------------------ | ----- |
| y' | - | 0 | + | 0 | - |
| y | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

3. 最終的な答え

上記のそれぞれの関数について増減表と極値を求めました。
グラフの概形は、これらの増減表と極値を基に描くことができます。
詳細なグラフの形状は、それぞれの関数の特徴に基づいて調整する必要があります。
例えば、関数の端における挙動、y切片などを考慮します。

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