関数 $f(x, y)$ と $g(x, y)$ が与えられています。 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x}{y} \arctan(\frac{y}{x}) - \frac{y}{x} \arctan(\frac{x}{y}), & xy \ne 0 \\ 0, & xy = 0 \end{cases}$ $g(x, y) = x y f(x, y)$ (1) $a \ne 0$ として、$\lim_{x \to 0} f(x, a)$ および $\lim_{y \to 0} f(a, y)$ を求めます。 (2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0)$ および $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0)$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ と $g(x, y)$ が与えられています。

$f(x,y) = \begin{cases}

\frac{x}{y} \arctan(\frac{y}{x}) - \frac{y}{x} \arctan(\frac{x}{y}), & xy \ne 0 \\

0, & xy = 0

\end{cases}$

$g(x, y) = x y f(x, y)$

(1) $a \ne 0$ として、$\lim_{x \to 0} f(x, a)$ および $\lim_{y \to 0} f(a, y)$ を求めます。

(2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0)$ および $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} f(x, a)$ を求める。

$y = a$ なので、$xy = xa$。$x \to 0$ のとき、$xa \to 0$。

しかし、$a \ne 0$ なので、$x \ne 0$ ならば $xa \ne 0$ となる場合もある。

よって、$x \ne 0$ のとき、

$f(x, a) = \frac{x}{a} \arctan(\frac{a}{x}) - \frac{a}{x} \arctan(\frac{x}{a})$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{a} \arctan(\frac{a}{x}) = 0$

$\lim_{x \to 0} \arctan(\frac{x}{a}) = 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{a}{x} \arctan(\frac{x}{a}) = \lim_{x \to 0} a \frac{\arctan(\frac{x}{a})}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan(\frac{x}{a})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(\frac{x}{a})}{\frac{x}{a}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a}$

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{a}{x} \arctan(\frac{x}{a}) = a \cdot \frac{1}{a} = 1$

$\lim_{x \to 0} f(x, a) = 0 - 1 = -1$

$\lim_{y \to 0} f(a, y)$ を求める。

$x = a$ なので、$xy = ay$。$y \to 0$ のとき、$ay \to 0$。

しかし、$a \ne 0$ なので、$y \ne 0$ ならば $ay \ne 0$ となる場合もある。

よって、$y \ne 0$ のとき、

$f(a, y) = \frac{a}{y} \arctan(\frac{y}{a}) - \frac{y}{a} \arctan(\frac{a}{y})$

$\lim_{y \to 0} \frac{a}{y} \arctan(\frac{y}{a}) = \lim_{y \to 0} a \frac{\arctan(\frac{y}{a})}{y}$

$\lim_{y \to 0} \frac{\arctan(\frac{y}{a})}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{\arctan(\frac{y}{a})}{\frac{y}{a}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a}$

よって、$\lim_{y \to 0} \frac{a}{y} \arctan(\frac{y}{a}) = a \cdot \frac{1}{a} = 1$

$\lim_{y \to 0} \frac{y}{a} \arctan(\frac{a}{y}) = 0$

$\lim_{y \to 0} f(a, y) = 1 - 0 = 1$

(2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0)$ を求める。

$g(x, y) = xy f(x, y)$ なので、

$g(x, y) = \begin{cases}

x^2 \arctan(\frac{y}{x}) - y^2 \arctan(\frac{x}{y}), & xy \ne 0 \\

0, & xy = 0

\end{cases}$

$\frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = \begin{cases}

x^2 \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{1}{x} - 2y \arctan(\frac{x}{y}) - y^2 \frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^2} \cdot (-\frac{x}{y^2}), & xy \ne 0 \\

0, & xy = 0

\end{cases}$

$= \begin{cases}

\frac{x^3}{x^2 + y^2} - 2y \arctan(\frac{x}{y}) + \frac{x y^2}{x^2 + y^2}, & xy \ne 0 \\

0, & xy = 0

\end{cases}$

$= \begin{cases}

\frac{x(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} - 2y \arctan(\frac{x}{y}) , & xy \ne 0 \\

0, & xy = 0

\end{cases}$

$= \begin{cases}

x - 2y \arctan(\frac{x}{y}), & xy \ne 0 \\

0, & xy = 0

\end{cases}$

$\frac{\partial g}{\partial y}(0, 0) = 0$

$\frac{\partial g}{\partial y}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(0, h) - g(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{\frac{\partial g}{\partial y}(k, 0) - \frac{\partial g}{\partial y}(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k - 2 \cdot 0 \cdot \arctan(\frac{k}{0}) - 0}{k}$

$\arctan(\infty) = \frac{\pi}{2}$ なので、$\lim_{k \to 0} \frac{\frac{\partial g}{\partial y}(k, 0) - \frac{\partial g}{\partial y}(0, 0)}{k} = 1$

$\frac{\partial g}{\partial x}(x, y) = \begin{cases}

2x \arctan(\frac{y}{x}) + x^2 \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) - 2y \arctan(\frac{x}{y}) - y^2 \frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^2} \cdot \frac{1}{y}, & xy \ne 0 \\

0, & xy = 0

\end{cases}$

$= \begin{cases}

2x \arctan(\frac{y}{x}) - \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} - \frac{y^3}{x^2 + y^2}, & xy \ne 0 \\

0, & xy = 0

\end{cases}$

$= \begin{cases}

2x \arctan(\frac{y}{x}) - y, & xy \ne 0 \\

0, & xy = 0

\end{cases}$

$\frac{\partial g}{\partial x}(0, 0) = 0$

$\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial g}{\partial x}(0, h) - \frac{\partial g}{\partial x}(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 0 \cdot \arctan(\frac{h}{0}) - h - 0}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} f(x, a) = -1$

$\lim_{y \to 0} f(a, y) = 1$

(2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0) = 1$

$\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0) = -1$