微積分学の基本定理を用いて、以下の2つの式を計算します。 (1) $\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} \sin t dt$ (2) $\frac{d}{dx} \int_{x}^{0} e^{2t+3} dt$

1. 問題の内容

微積分学の基本定理を用いて、以下の2つの式を計算します。

(1) $\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} \sin t dt$

(2) $\frac{d}{dx} \int_{x}^{0} e^{2t+3} dt$

2. 解き方の手順

(1) 微積分学の基本定理第一基本定理より、$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$ です。この定理を適用すると、

$\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} \sin t dt = \sin x$ となります。

(2) 微積分学の基本定理第一基本定理と、積分の性質 $\int_a^b f(t) dt = - \int_b^a f(t) dt$ を用います。

$\frac{d}{dx} \int_{x}^{0} e^{2t+3} dt = \frac{d}{dx} \left( - \int_{0}^{x} e^{2t+3} dt \right) = - \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} e^{2t+3} dt$

微積分学の基本定理第一基本定理より、$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} e^{2t+3} dt = e^{2x+3}$ なので、

$\frac{d}{dx} \int_{x}^{0} e^{2t+3} dt = - e^{2x+3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sin x$

(2) $-e^{2x+3}$