与えられた6つの関数について、不定積分を求める問題です。積分定数は省略しても良いです。 (1) $f(x) = x(x^2 + 1)^3$ (2) $f(x) = \sin^3 x \cos x$ (3) $f(x) = x^3 \log x$ (4) $f(x) = (\log x)^2$ (5) $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ (6) $f(x) = \frac{x}{\cos^2 x}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数について、不定積分を求める問題です。積分定数は省略しても良いです。

(1) $f(x) = x(x^2 + 1)^3$

(2) $f(x) = \sin^3 x \cos x$

(3) $f(x) = x^3 \log x$

(4) $f(x) = (\log x)^2$

(5) $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$

(6) $f(x) = \frac{x}{\cos^2 x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x(x^2 + 1)^3$

$u = x^2 + 1$ と置換すると、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2}du$。

$\int x(x^2 + 1)^3 dx = \int u^3 \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{8} (x^2 + 1)^4 + C$

(2) $f(x) = \sin^3 x \cos x$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$。

$\int \sin^3 x \cos x dx = \int u^3 du = \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{4} \sin^4 x + C$

(3) $f(x) = x^3 \log x$

部分積分を用いる。$u = \log x$, $dv = x^3 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{4} x^4$。

$\int x^3 \log x dx = \frac{1}{4} x^4 \log x - \int \frac{1}{4} x^4 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{4} x^4 \log x - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{1}{4} x^4 \log x - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^4 + C = \frac{1}{4} x^4 \log x - \frac{1}{16} x^4 + C$

(4) $f(x) = (\log x)^2$

部分積分を用いる。$u = (\log x)^2$, $dv = dx$ とすると、$du = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx$, $v = x$。

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - \int x \cdot 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx = x (\log x)^2 - 2 \int \log x dx$

さらに、$\int \log x dx$ を部分積分で求める。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$。

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x + C$

よって、$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - 2 (x \log x - x) + C = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

(5) $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$。

$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\sin x| + C$

(6) $f(x) = \frac{x}{\cos^2 x}$

部分積分を用いる。$u = x$, $dv = \frac{1}{\cos^2 x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = \tan x$。

$\int \frac{x}{\cos^2 x} dx = x \tan x - \int \tan x dx = x \tan x - \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$

$w = \cos x$ と置換すると、$dw = -\sin x dx$ より $\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = - \int \frac{1}{w} dw = - \log |w| + C = - \log |\cos x| + C$

よって、$\int \frac{x}{\cos^2 x} dx = x \tan x + \log |\cos x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8} (x^2 + 1)^4$

(2) $\frac{1}{4} \sin^4 x$

(3) $\frac{1}{4} x^4 \log x - \frac{1}{16} x^4$

(4) $x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x$

(5) $\log |\sin x|$

(6) $x \tan x + \log |\cos x|$