曲線 $C: f(x) = |x^2 - 4x| + x - 4$ が与えられている。曲線 $C$ の $x=1$ における接線を $l$ とする。 (1) $y=f(x)$ のグラフを描け。 (2) 接線 $l$ の式を求めよ。 (3) 曲線 $C$ と接線 $l$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $C: f(x) = |x^2 - 4x| + x - 4$ が与えられている。曲線 $C$ の $x=1$ における接線を $l$ とする。

(1) $y=f(x)$ のグラフを描け。

(2) 接線 $l$ の式を求めよ。

(3) 曲線 $C$ と接線 $l$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y=f(x)$ のグラフを描く。

$x^2 - 4x \ge 0$ のとき、つまり $x \le 0$ または $4 \le x$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x + x - 4 = x^2 - 3x - 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{4}$.

$x^2 - 4x < 0$ のとき、つまり $0 < x < 4$ のとき、$f(x) = -(x^2 - 4x) + x - 4 = -x^2 + 5x - 4 = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{9}{4}$.

グラフは、$x \le 0$ または $4 \le x$ のとき、$y = x^2 - 3x - 4$ で、$0 < x < 4$ のとき、$y = -x^2 + 5x - 4$となる。

(2) 接線 $l$ の式を求める。

$x=1$ のとき、$0 < x < 4$ なので、$f(x) = -x^2 + 5x - 4$.

$f'(x) = -2x + 5$.

$f'(1) = -2(1) + 5 = 3$.

$f(1) = -1^2 + 5(1) - 4 = 0$.

よって、接線 $l$ の式は、$y - 0 = 3(x - 1)$ より、$y = 3x - 3$.

(3) 曲線 $C$ と接線 $l$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求める。

交点を求める。

$x \le 0$ または $4 \le x$ のとき、$x^2 - 3x - 4 = 3x - 3$.

$x^2 - 6x - 1 = 0$.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}$.

$3 + \sqrt{10} \ge 4$ である。

$0 < x < 4$ のとき、$-x^2 + 5x - 4 = 3x - 3$.

$x^2 - 2x + 1 = 0$.

$(x - 1)^2 = 0$.

$x = 1$.

$S = \int_{1}^{3 + \sqrt{10}} |x^2 - 3x - 4 - (3x - 3)| dx - \int_{1}^{1} |-x^2 + 5x - 4 - (3x - 3)| dx$.

$S = \int_{1}^{3 + \sqrt{10}} |x^2 - 6x - 1| dx$

$x^2 - 6x - 1 = 0$ の解は $x = 3 \pm \sqrt{10}$ であるから、

$S = \int_{1}^{3 + \sqrt{10}} (x^2 - 6x - 1) dx = \int_{1}^{3 + \sqrt{10}} (x^2 - 6x - 1) dx = [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 - x]_{1}^{3+\sqrt{10}}$.

$S = (\frac{1}{3}(3+\sqrt{10})^3 - 3(3+\sqrt{10})^2 - (3+\sqrt{10})) - (\frac{1}{3} - 3 - 1)$

$S = \frac{1}{3}(27 + 27\sqrt{10} + 90 + 10\sqrt{10}) - 3(9 + 6\sqrt{10} + 10) - 3 - \sqrt{10} - (\frac{1}{3} - 4) = \frac{117 + 37\sqrt{10}}{3} - 57 - 18\sqrt{10} - 3 - \sqrt{10} + \frac{11}{3} = \frac{128}{3} - 60 - 19\sqrt{10} = \frac{128 - 180}{3} - 19\sqrt{10} = -\frac{52}{3} - 19\sqrt{10}$.

間違いがあるので、面積は積分区間を考慮して、

$\int_{1}^{3 + \sqrt{10}}(3x-3 - (x^2 - 3x - 4)) dx - \int_{1}^{4} ((3x-3) -(-x^2 + 5x - 4))dx$

$= \int_{1}^{3+\sqrt{10}}(-x^2 + 6x + 1)dx - \int_{1}^{4} (x^2 - 2x + 1) dx = [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 + x]_{1}^{3+\sqrt{10}} - [\frac{x^3}{3} - x^2 + x]_{1}^{4}$.

$x = 1$ で交わっているので、$x = 3 + \sqrt{10}$ で、$f(x) = x^2 - 3x - 4$ の時、$x^2 - 3x - 4 = 3x - 3$ となる。これは、$x^2 - 6x - 1 = 0$ の解である。

$x = 1$ から $x = 4$ では、$f(x) = -x^2 + 5x - 4$ なので、接線との差は、 $(3x - 3) - (-x^2 + 5x - 4) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ となる。積分すると、$[\frac{x^3}{3} - x^2 + x]_1^4 = (\frac{64}{3} - 16 + 4) - (\frac{1}{3} - 1 + 1) = \frac{64 - 48 + 12}{3} - \frac{1}{3} = \frac{28}{3} - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} = 9$ となる。

$x = 3 + \sqrt{10}$ まで積分すると、$f(x) = x^2 - 3x - 4$ なので、接線との差は、 $(3x-3) - (x^2 - 3x - 4) = -x^2 + 6x + 1$ となる。積分すると、$[-\frac{x^3}{3} + 3x^2 + x]_1^{3+\sqrt{10}} = -9$. よって、答えは $9$.

3. 最終的な答え

$S = 9$