極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$ を求めよ。

##

3

4. 次の極限値を求め、正しい選択肢を選べ。必要に応じてロピタルの定理を使うとよい。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているので、ロピタルの定理を使うことができる。ロピタルの定理を適用すると、分子と分母をそれぞれ微分する。

1回目のロピタルの定理の適用:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x}$

この極限も不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているので、再度ロピタルの定理を使うことができる。

2回目のロピタルの定理の適用:

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2}$

$x \to 0$ のとき、$\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$

##

3

5. 次の極限値を求め、正しい選択肢を選べ。必要に応じてロピタルの定理を使うとよい。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x - e^{-x}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているので、ロピタルの定理を使うことができる。ロピタルの定理を適用すると、分子と分母をそれぞれ微分する。

1回目のロピタルの定理の適用:

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{e^x + e^{-x}}$

$x \to 0$ のとき、$e^x \to 1$ かつ $e^{-x} \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$