関数 $f(x) = x^3$ の導関数 $f'(x)$ を、導関数の定義式 $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ を用いて求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3$ の導関数 $f'(x)$ を、導関数の定義式

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3$ であるから、$f(x+\Delta x) = (x+\Delta x)^3$ である。これを与えられた導関数の定義式に代入する。

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^3 - x^3}{\Delta x}$

次に、$(x+\Delta x)^3$ を展開する。

$(x+\Delta x)^3 = x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$

これを代入して、

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - x^3}{\Delta x}$

$x^3$が消えて、

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x}$

分子の各項を$\Delta x$ で割ると、

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2 + 3x\Delta x + (\Delta x)^2)$

$\Delta x \to 0$ の極限をとると、$\Delta x$ を含む項は0に近づくので、

$f'(x) = 3x^2$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 3x^2$