半径$r$の球形の容器に、単位時間あたり$a$の割合で体積が増えるように水を入れるとき、以下の問いに答える。 (1) 水の深さが$h$ $(0<h<r)$に達したときの水の体積$V$と水面の面積$S$をそれぞれ求める。 (2) 水の深さが$\frac{r}{2}$になったときの水面の上昇する速度$v_1$と水面の面積の増加する速度$v_2$をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

半径$r$の球形の容器に、単位時間あたり$a$の割合で体積が増えるように水を入れるとき、以下の問いに答える。

(1) 水の深さが$h$ $(0<h<r)$に達したときの水の体積$V$と水面の面積$S$をそれぞれ求める。

(2) 水の深さが$\frac{r}{2}$になったときの水面の上昇する速度$v_1$と水面の面積の増加する速度$v_2$をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 水の深さが$h$のときの体積$V$は、球の切り取りの体積の公式を用いる。

$$V = \frac{1}{3}\pi h^2 (3r - h)$$

また、水面の面積$S$は、半径$x$の円の面積として求める。ここで、$x$は三平方の定理より、

$$x = \sqrt{r^2 - (r-h)^2} = \sqrt{2rh - h^2}$$

したがって、

$$S = \pi x^2 = \pi (2rh - h^2)$$

(2) 体積$V$が時間$t$に関して$V=at$で増加する。$\frac{dV}{dt} = a$である。

また、$V = \frac{1}{3}\pi h^2 (3r - h) = \pi r h^2 - \frac{1}{3} \pi h^3$であるから、両辺を$t$で微分すると、

$$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \frac{dh}{dt} = (2\pi rh - \pi h^2) \frac{dh}{dt}$$

$\frac{dh}{dt}$が水面の上昇する速度$v_1$なので、

$$a = (2\pi rh - \pi h^2) v_1$$

$$v_1 = \frac{a}{2\pi rh - \pi h^2}$$

$h = \frac{r}{2}$のとき、

$$v_1 = \frac{a}{2\pi r (\frac{r}{2}) - \pi (\frac{r}{2})^2} = \frac{a}{\pi r^2 - \frac{\pi r^2}{4}} = \frac{a}{\frac{3}{4} \pi r^2} = \frac{4a}{3\pi r^2}$$

次に、水面の面積の増加する速度$v_2$を求める。

$S = \pi (2rh - h^2) = 2\pi rh - \pi h^2$

$\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dh} \frac{dh}{dt} = (2\pi r - 2\pi h) \frac{dh}{dt} = 2\pi (r-h) \frac{dh}{dt}$

$\frac{dS}{dt} = v_2$、$\frac{dh}{dt} = v_1$なので、

$$v_2 = 2\pi (r-h) v_1$$

$h = \frac{r}{2}$のとき、$v_1 = \frac{4a}{3\pi r^2}$なので、

$$v_2 = 2\pi (r - \frac{r}{2}) \frac{4a}{3\pi r^2} = 2\pi (\frac{r}{2}) \frac{4a}{3\pi r^2} = \pi r \frac{4a}{3\pi r^2} = \frac{4a}{3r}$$

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{1}{3}\pi h^2 (3r - h)$、 $S = \pi (2rh - h^2)$

(2) $v_1 = \frac{4a}{3\pi r^2}$、$v_2 = \frac{4a}{3r}$