$0 < x < 1$ の範囲において、$1-x^2$、$\sqrt{1-x^2}$、$\cos x$ の値の大小を比較する問題です。

1. 問題の内容

$0 < x < 1$ の範囲において、$1-x^2$、$\sqrt{1-x^2}$、$\cos x$ の値の大小を比較する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$0 < x < 1$ の範囲でそれぞれの関数がどのような値をとるかを考えます。

* $f(x) = 1 - x^2$

$0 < x < 1$ より、$0 < x^2 < 1$ であるから、 $0 < 1 - x^2 < 1$ となります。

* $g(x) = \sqrt{1 - x^2}$

$0 < x < 1$ より、$0 < 1 - x^2 < 1$ であるから、 $0 < \sqrt{1 - x^2} < 1$ となります。

* $h(x) = \cos x$

$0 < x < 1$ ($x$ はラジアン)の範囲では、$\cos x$ は減少関数であり、$\cos 0 = 1$、$x$ が1に近づくにつれて $\cos x$ は減少します。$1 \text{ rad} \approx 57.3^\circ$ なので、$0 < \cos x < 1$ です。

次に、$f(x)$ と $g(x)$ の大小関係を比較します。$0 < 1 - x^2 < 1$ であるから、$\sqrt{1 - x^2} > 1 - x^2$ が成り立ちます。つまり、$g(x) > f(x)$ です。

次に、$x$ が十分小さい場合を考えます。例えば、$x \approx 0$ のとき、$\cos x \approx 1$ となり、$1 - x^2 \approx 1$、$\sqrt{1 - x^2} \approx 1$ となります。

また、$x$ が1に近い場合、$1 - x^2$ は0に近づき、$\sqrt{1 - x^2}$ も0に近づきます。一方、$\cos x$ は $\cos 1$ に近づき、$\cos 1 \approx 0.54 > 0$ なので、$x$ が1に近い場合は、$\cos x$ が最も大きい値を取ることが予想できます。

ここで、$0 < x < 1$ の範囲で、$g(x) > f(x)$ であり、$\cos x$ と $g(x)$ の大小関係について考えます。

$1 - x^2$ と $\cos^2 x$ の大小を比較すると、$\cos^2 x - (1-x^2) = \cos^2 x + x^2 - 1 = \cos^2 x - 1 + x^2 = - \sin^2 x + x^2 = x^2 - \sin^2 x$ となります。

ここで、$i(x) = x^2 - \sin^2 x$ とおくと、$i(0) = 0$ です。

$i'(x) = 2x - 2 \sin x \cos x = 2x - \sin 2x$

$i'(0) = 0$

$i''(x) = 2 - 2 \cos 2x = 2(1-\cos 2x)$.

$0 < x < 1$ において、$i''(x) > 0$ なので、$i'(x) > 0$、$i(x) > 0$ が成り立ちます。

したがって、$x^2 - \sin^2 x > 0$ より、$\cos^2 x > 1 - x^2$ となります。よって、$\cos x > \sqrt{1 - x^2}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$0 < x < 1$ において、

$1 - x^2 < \sqrt{1 - x^2} < \cos x$