$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、方程式 $\sin 2x + \sin x = 0$ を解きます。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

**2.1 [1]**

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、方程式 $\sin 2x + \sin x = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2x$ を倍角の公式で展開します。

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

元の式に代入すると、

$2 \sin x \cos x + \sin x = 0$

$\sin x$ でくくると、

$\sin x (2 \cos x + 1) = 0$

したがって、$\sin x = 0$ または $2 \cos x + 1 = 0$ となります。

(i) $\sin x = 0$ の場合、

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$x = 0, \pi$

(ii) $2 \cos x + 1 = 0$ の場合、

$\cos x = -\frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$x = 0, \pi, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

**2.1 [2]**

1. 問題の内容

座標平面上に2直線 $l: y = 4x$ と $m: y = x$ があります。直線 $l$ と $m$ のなす角を $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とするとき、$\tan \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

直線 $y=4x$ とx軸の正の方向とのなす角を$\alpha$, 直線 $y=x$ とx軸の正の方向とのなす角を$\beta$ とすると、$\tan \alpha = 4$, $\tan \beta = 1$ となります。

$\theta = \alpha - \beta$ より、$\tan \theta = \tan(\alpha - \beta)$

$\tan$ の加法定理より、

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

$\tan \alpha = 4$, $\tan \beta = 1$ を代入すると、

$\tan \theta = \frac{4 - 1}{1 + 4 \cdot 1} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\tan \theta = \frac{3}{5}$

**2.2**

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \cos x + \sin \frac{x}{2}$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値、最小値を求めます。

2. 解き方の手順

$f(x) = \cos x + \sin \frac{x}{2}$ を微分します。

$f'(x) = -\sin x + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\sin x + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} = 0$

$\sin x = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}$

ここで、$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ を用いると、

$2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}$

$\cos \frac{x}{2} (2 \sin \frac{x}{2} - \frac{1}{2}) = 0$

したがって、$\cos \frac{x}{2} = 0$ または $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{4}$ となります。

(i) $\cos \frac{x}{2} = 0$ の場合、$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2}$ より $x = \pi$

(ii) $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{4}$ の場合、$x = 2 \arcsin \frac{1}{4}$

$x = 0, \pi, 2 \arcsin \frac{1}{4}$ で $f(x)$ の値を調べます。

$f(0) = \cos 0 + \sin 0 = 1$

$f(\pi) = \cos \pi + \sin \frac{\pi}{2} = -1 + 1 = 0$

$f(2 \arcsin \frac{1}{4}) = \cos(2 \arcsin \frac{1}{4}) + \sin(\arcsin \frac{1}{4})$

$= 1 - 2\sin^2 (\arcsin \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}$

$= 1 - 2(\frac{1}{16}) + \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{8} + \frac{2}{8} = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{9}{8}$ ($x = 2 \arcsin \frac{1}{4}$ のとき)

最小値: $0$ ($x = \pi$ のとき)