与えられた8つの関数を微分せよ。ただし、問題文に記載された公式を利用すること。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた8つの関数を微分せよ。ただし、問題文に記載された公式を利用すること。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-1)\log(x+1)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = x-1$, $v = \log(x+1)$ とすると、

$u' = 1$, $v' = \frac{1}{x+1}$

したがって、

$y' = 1 \cdot \log(x+1) + (x-1) \cdot \frac{1}{x+1} = \log(x+1) + \frac{x-1}{x+1}$

(2) $y = (\log x + 1)\log x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = \log x + 1$, $v = \log x$ とすると、

$u' = \frac{1}{x}$, $v' = \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = \frac{1}{x} \cdot \log x + (\log x + 1) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\log x + 1}{x}$

(3) $y = \frac{\log x - 1}{x}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用します。

$u = \log x - 1$, $v = x$ とすると、

$u' = \frac{1}{x}$, $v' = 1$

したがって、

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (\log x - 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x + 1}{x^2} = \frac{2 - \log x}{x^2}$

(4) $y = \frac{x-1}{\log x + 1}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用します。

$u = x-1$, $v = \log x + 1$ とすると、

$u' = 1$, $v' = \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = \frac{1 \cdot (\log x + 1) - (x-1) \cdot \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2} = \frac{\log x + 1 - 1 + \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2} = \frac{\log x + \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2}$

(5) $y = \log(x^4 + x^2 - 1)$

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を使用します。

$f(u) = \log u$, $g(x) = x^4 + x^2 - 1$ とすると、

$f'(u) = \frac{1}{u}$, $g'(x) = 4x^3 + 2x$

したがって、

$y' = \frac{1}{x^4 + x^2 - 1} \cdot (4x^3 + 2x) = \frac{4x^3 + 2x}{x^4 + x^2 - 1}$

(6) $y = \log(\sqrt{x} - 3)$

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を使用します。

$f(u) = \log u$, $g(x) = \sqrt{x} - 3$ とすると、

$f'(u) = \frac{1}{u}$, $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$y' = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}$

(7) $y = \frac{1}{(\log x - 5)^2} = (\log x - 5)^{-2}$

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を使用します。

$f(u) = u^{-2}$, $g(x) = \log x - 5$ とすると、

$f'(u) = -2u^{-3}$, $g'(x) = \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = -2(\log x - 5)^{-3} \cdot \frac{1}{x} = \frac{-2}{x(\log x - 5)^3}$

(8) $y = \sqrt{\log x + 2} = (\log x + 2)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を使用します。

$f(u) = u^{\frac{1}{2}}$, $g(x) = \log x + 2$ とすると、

$f'(u) = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$, $g'(x) = \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = \frac{1}{2}(\log x + 2)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x\sqrt{\log x + 2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \log(x+1) + \frac{x-1}{x+1}$

(2) $y' = \frac{2\log x + 1}{x}$

(3) $y' = \frac{2 - \log x}{x^2}$

(4) $y' = \frac{\log x + \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2}$

(5) $y' = \frac{4x^3 + 2x}{x^4 + x^2 - 1}$

(6) $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}$

(7) $y' = \frac{-2}{x(\log x - 5)^3}$

(8) $y' = \frac{1}{2x\sqrt{\log x + 2}}$