関数 $y = x^3 - x^2 - x + 1$ の増減と凹凸を調べ、グラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - x^2 - x + 1$ の増減と凹凸を調べ、グラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、増減を調べます。

1. 一階微分を計算します。

$y' = 3x^2 - 2x - 1$

2. $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

$(3x+1)(x-1) = 0$

$x = -\frac{1}{3}, 1$

3. 増減表を作成します。

| x | $x < -\frac{1}{3}$ | $-\frac{1}{3}$ | $-\frac{1}{3} < x < 1$ | 1 | $x > 1$ |

|-------|----------------------|-----------------|-----------------------|-------|---------|

| $y'$ | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

4. 二階微分を計算して、凹凸を調べます。

$y'' = 6x - 2$

5. $y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x - 2 = 0$

$x = \frac{1}{3}$

6. 凹凸を調べます。

| x | $x < \frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $x > \frac{1}{3}$ |

|-------|----------------------|-----------------|-----------------------|

| $y''$ | - | 0 | + |

| y | 上に凸 | 変曲点 | 下に凸 |

7. $x = -\frac{1}{3}$ のとき $y = (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) + 1 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{-1-3+9+27}{27} = \frac{32}{27}$

$x = 1$ のとき $y = 1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 0$

$x = \frac{1}{3}$ のとき $y = (\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3}) + 1 = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{1-3-9+27}{27} = \frac{16}{27}$

8. グラフの概形を描きます。

極大値: $(-\frac{1}{3}, \frac{32}{27})$

極小値: $(1, 0)$

変曲点: $(\frac{1}{3}, \frac{16}{27})$

$y$切片: $(0, 1)$

3. 最終的な答え

グラフの概形は、極大値 $(-\frac{1}{3}, \frac{32}{27})$、極小値 $(1, 0)$、変曲点 $(\frac{1}{3}, \frac{16}{27})$、y切片 $(0, 1)$ を持ちます。$x < -\frac{1}{3}$で増加、$-\frac{1}{3} < x < 1$で減少、$x > 1$で増加し、$x < \frac{1}{3}$で上に凸、$x > \frac{1}{3}$で下に凸となります。