問題は、与えられた数列が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める、というものです。数列は2つあり、(1) $\{(3x+1)^n\}$ と (2) $\{(x^2-2x-1)^n\}$ です。

1. 問題の内容

問題は、与えられた数列が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める、というものです。数列は2つあり、(1) $\{(3x+1)^n\}$ と (2) $\{(x^2-2x-1)^n\}$ です。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{(3x+1)^n\}$ の収束条件は、

$-1 < 3x+1 \le 1$

を満たすことです。

まず、$3x+1 \le 1$ より、

$3x \le 0$

$x \le 0$

次に、$-1 < 3x+1$ より、

$-2 < 3x$

$-\frac{2}{3} < x$

したがって、$-\frac{2}{3} < x \le 0$ が収束条件です。

このとき、$x = 0$ ならば $3x+1 = 1$ なので、数列の極限は $1$ になります。

$-\frac{2}{3} < x < 0$ ならば $-1 < 3x+1 < 1$ なので、数列の極限は $0$ になります。

(2) 数列 $\{(x^2-2x-1)^n\}$ の収束条件は、

$-1 < x^2-2x-1 \le 1$

を満たすことです。

まず、$x^2-2x-1 \le 1$ より、

$x^2-2x-2 \le 0$

$x^2-2x-2 = 0$ の解は $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ であるから、

$1 - \sqrt{3} \le x \le 1 + \sqrt{3}$

次に、$-1 < x^2-2x-1$ より、

$0 < x^2-2x$

$0 < x(x-2)$

よって、$x < 0$ または $2 < x$

したがって、$1 - \sqrt{3} \le x < 0$ または $2 < x \le 1 + \sqrt{3}$ が収束条件です。

このとき、$x^2-2x-1 = 1$ ならば $x^2-2x-2 = 0$ であり、 $x = 1 \pm \sqrt{3}$ です。この時、数列の極限値は$1$です。

$1 - \sqrt{3} \le x < 0$ または $2 < x \le 1 + \sqrt{3}$ で $x \ne 1 \pm \sqrt{3}$ ならば、$-1 < x^2-2x-1 < 1$ ですので、数列の極限は $0$ になります。

3. 最終的な答え

(1) 収束条件： $-\frac{2}{3} < x \le 0$

$x = 0$ のとき、極限値は $1$

$-\frac{2}{3} < x < 0$ のとき、極限値は $0$

(2) 収束条件： $1 - \sqrt{3} \le x < 0$ または $2 < x \le 1 + \sqrt{3}$

$x = 1 \pm \sqrt{3}$ のとき、極限値は $1$

$1 - \sqrt{3} \le x < 0$ かつ $x \ne 1-\sqrt{3}$ または $2 < x \le 1 + \sqrt{3}$ かつ $x \ne 1+\sqrt{3}$のとき、極限値は $0$