## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{7^n - 3^n}{7^n + 3^n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n - 2^n}{4^n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n + (-6)^{n+1}}{(-6)^n - 5^n}$

(4) $\lim_{n \to \infty} (3^n - 5^n)$

(5) $\lim_{n \to \infty} (6^{n+1} - 7^n)$

(6) $\lim_{n \to \infty} (2^{2n} - 3^{n+1})$

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2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{7^n - 3^n}{7^n + 3^n}$

分母と分子を $7^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - (\frac{3}{7})^n}{1 + (\frac{3}{7})^n}$

$n \to \infty$ のとき、 $(\frac{3}{7})^n \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - (\frac{3}{7})^n}{1 + (\frac{3}{7})^n} = \frac{1-0}{1+0} = 1$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n - 2^n}{4^n}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{3}{4})^n - (\frac{2}{4})^n}{1}$

$n \to \infty$ のとき、 $(\frac{3}{4})^n \to 0$ かつ $(\frac{2}{4})^n \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{3}{4})^n - (\frac{1}{2})^n}{1} = \frac{0 - 0}{1} = 0$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n + (-6)^{n+1}}{(-6)^n - 5^n}$

分母と分子を $(-6)^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^n}{(-6)^n} + (-6)}{\frac{(-6)^n}{(-6)^n} - \frac{5^n}{(-6)^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{-1}{3})^n - 6}{1 - (\frac{-5}{6})^n}$

$n \to \infty$ のとき $(\frac{-1}{3})^n \to 0$ かつ $(\frac{-5}{6})^n \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{-1}{3})^n - 6}{1 - (\frac{-5}{6})^n} = \frac{0-6}{1-0} = -6$

(4) $\lim_{n \to \infty} (3^n - 5^n)$

$5^n$ で括ります。

$\lim_{n \to \infty} 5^n ((\frac{3}{5})^n - 1)$

$n \to \infty$ のとき、 $5^n \to \infty$ かつ $(\frac{3}{5})^n \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} 5^n ((\frac{3}{5})^n - 1) = \infty \cdot (0-1) = -\infty$

(5) $\lim_{n \to \infty} (6^{n+1} - 7^n)$

$7^n$ で括ります。

$\lim_{n \to \infty} 7^n (6 \cdot (\frac{6}{7})^n - 1)$

$n \to \infty$ のとき、$7^n \to \infty$ かつ $(\frac{6}{7})^n \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} 7^n (6 \cdot (\frac{6}{7})^n - 1) = \infty \cdot (6 \cdot 0 - 1) = -\infty$

(6) $\lim_{n \to \infty} (2^{2n} - 3^{n+1})$

$2^{2n} = (2^2)^n = 4^n$

$3^{n+1} = 3 \cdot 3^n$

$\lim_{n \to \infty} (4^n - 3 \cdot 3^n)$

$4^n$ で括ります。

$\lim_{n \to \infty} 4^n (1 - 3 \cdot (\frac{3}{4})^n)$

$n \to \infty$ のとき、$4^n \to \infty$ かつ $(\frac{3}{4})^n \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} 4^n (1 - 3 \cdot (\frac{3}{4})^n) = \infty \cdot (1 - 3 \cdot 0) = \infty$

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3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 0

(3) -6

(4) $-\infty$

(5) $-\infty$

(6) $\infty$