関数 $y = 3 \sin x \tan x$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

## 回答

1. 問題の内容

関数 $y = 3 \sin x \tan x$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$ を $\frac{\sin x}{\cos x}$ で置き換えます。

$y = 3 \sin x \tan x = 3 \sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \frac{\sin^2 x}{\cos x}$

次に、商の微分公式を使います。商の微分公式は $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

ここで、$u = 3\sin^2 x$、$v = \cos x$ とおきます。

$u' = 3 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x = 6 \sin x \cos x$

$v' = -\sin x$

これらの値を商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{6 \sin x \cos x \cdot \cos x - 3 \sin^2 x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$

$= \frac{6 \sin x \cos^2 x + 3 \sin^3 x}{\cos^2 x}$

$= \frac{3 \sin x (2 \cos^2 x + \sin^2 x)}{\cos^2 x}$

$= \frac{3 \sin x (\cos^2 x + \cos^2 x + \sin^2 x)}{\cos^2 x}$

$= \frac{3 \sin x (\cos^2 x + 1)}{\cos^2 x}$

$= 3 \sin x (\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x})$

$= 3 \sin x (1 + \frac{1}{\cos^2 x})$

$= 3 \sin x (1 + \sec^2 x)$

$= 3 \sin x + 3 \sin x \sec^2 x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3 \sin x + 3 \sin x \sec^2 x$