次の2つの極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to 0+} \left( \frac{1}{\arcsin x} - \frac{1}{x} \right)$ (2) $\lim_{x \to 1-0} \frac{1 - x^2}{\sqrt{2 - x^2} \cosh(2 \sqrt{1 - x^2}) - x}$

1. 問題の内容

次の2つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0+} \left( \frac{1}{\arcsin x} - \frac{1}{x} \right)$

(2) $\lim_{x \to 1-0} \frac{1 - x^2}{\sqrt{2 - x^2} \cosh(2 \sqrt{1 - x^2}) - x}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to 0+} \left( \frac{1}{\arcsin x} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0+} \frac{x - \arcsin x}{x \arcsin x}$

$\arcsin x$ のテイラー展開は、

$\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \dots$ (for $|x| < 1$)

であるので、

$x - \arcsin x = - \frac{x^3}{6} - \frac{3x^5}{40} - \dots$

したがって、

$\lim_{x \to 0+} \frac{x - \arcsin x}{x \arcsin x} = \lim_{x \to 0+} \frac{-\frac{x^3}{6} - \frac{3x^5}{40} - \dots}{x(x + \frac{x^3}{6} + \dots)} = \lim_{x \to 0+} \frac{-\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^2 + O(x^4)} = \lim_{x \to 0+} \frac{-\frac{x}{6} + O(x^3)}{1 + O(x^2)} = 0$

(2)

$\lim_{x \to 1-0} \frac{1 - x^2}{\sqrt{2 - x^2} \cosh(2 \sqrt{1 - x^2}) - x}$

$t = \sqrt{1 - x^2}$ とおくと、 $x = \sqrt{1 - t^2}$ であり、$x \to 1-0$ のとき $t \to 0+$ となる。

$\lim_{x \to 1-0} \frac{1 - x^2}{\sqrt{2 - x^2} \cosh(2 \sqrt{1 - x^2}) - x} = \lim_{t \to 0+} \frac{t^2}{\sqrt{2 - (1 - t^2)} \cosh(2t) - \sqrt{1 - t^2}} = \lim_{t \to 0+} \frac{t^2}{\sqrt{1 + t^2} \cosh(2t) - \sqrt{1 - t^2}}$

テイラー展開を利用する。

$\sqrt{1 + t^2} = 1 + \frac{1}{2} t^2 - \frac{1}{8} t^4 + \dots$

$\sqrt{1 - t^2} = 1 - \frac{1}{2} t^2 - \frac{1}{8} t^4 - \dots$

$\cosh(2t) = 1 + \frac{(2t)^2}{2!} + \frac{(2t)^4}{4!} + \dots = 1 + 2t^2 + \frac{2}{3}t^4 + \dots$

$\sqrt{1 + t^2} \cosh(2t) = (1 + \frac{1}{2} t^2 - \frac{1}{8} t^4 + \dots)(1 + 2t^2 + \frac{2}{3}t^4 + \dots) = 1 + (2 + \frac{1}{2})t^2 + (\frac{2}{3} + 1 - \frac{1}{8})t^4 + \dots = 1 + \frac{5}{2}t^2 + \frac{41}{24}t^4 + \dots$

$\sqrt{1 + t^2} \cosh(2t) - \sqrt{1 - t^2} = (1 + \frac{5}{2}t^2 + \dots) - (1 - \frac{1}{2} t^2 - \dots) = 3t^2 + O(t^4)$

したがって、

$\lim_{t \to 0+} \frac{t^2}{\sqrt{1 + t^2} \cosh(2t) - \sqrt{1 - t^2}} = \lim_{t \to 0+} \frac{t^2}{3t^2 + O(t^4)} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 1/3