点 $x=a$ を含む開区間 $I$ で定義された関数 $f(x)$ について、次の2つが同値であることを示す問題です。 (1) $f(x)$ は $x=a$ で微分可能である。 (2) $x=a$ で連続かつ開区間 $I$ で $f(x) = f(a) + (x-a)h(x)$ が成り立つ関数 $h(x)$ が存在する。

1. 問題の内容

点 $x=a$ を含む開区間 $I$ で定義された関数 $f(x)$ について、次の2つが同値であることを示す問題です。

(1) $f(x)$ は $x=a$ で微分可能である。

(2) $x=a$ で連続かつ開区間 $I$ で $f(x) = f(a) + (x-a)h(x)$ が成り立つ関数 $h(x)$ が存在する。

2. 解き方の手順

(1) $\implies$ (2) の証明:

$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であると仮定する。

このとき、$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ が存在する。

関数 $h(x)$ を次のように定義する。

$h(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} & x \neq a \\ f'(a) & x = a \end{cases}$

このとき、$f(x) = f(a) + (x-a)h(x)$ が成り立つ。

また、$\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a) = h(a)$ であるから、$h(x)$ は $x=a$ で連続である。

$f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば、連続であるから、$f(x)$ は $x=a$ で連続。

(2) $\implies$ (1) の証明:

$f(x) = f(a) + (x-a)h(x)$ が成り立つ関数 $h(x)$ が存在し、$x=a$ で連続であると仮定する。

このとき、$f(x)$ の $x=a$ における微分係数を計算する。

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a} \frac{f(a) + (x-a)h(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a} \frac{(x-a)h(x)}{x-a} = \lim_{x \to a} h(x)$

$h(x)$ は $x=a$ で連続なので、$\lim_{x \to a} h(x) = h(a)$ である。

したがって、$f'(a) = h(a)$ が存在するので、$f(x)$ は $x=a$ で微分可能である。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であることと、

(2) $x=a$ で連続かつ開区間 $I$ で $f(x) = f(a) + (x-a)h(x)$ が成り立つ関数 $h(x)$ が存在することは同値である。