(1) $4 \arctan{\frac{1}{5}} - \arctan{\frac{1}{239}} = \frac{\pi}{4}$ を示す。 (2) $S = \arcsin{x} + \arcsin{y}$ とし、$ -\frac{\pi}{2} \leq S \leq \frac{\pi}{2}$ とする。このとき、$S = \arcsin{(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2})}$ を示す。

1. 問題の内容

(1) $4 \arctan{\frac{1}{5}} - \arctan{\frac{1}{239}} = \frac{\pi}{4}$ を示す。

(2) $S = \arcsin{x} + \arcsin{y}$ とし、$-\frac{\pi}{2} \leq S \leq \frac{\pi}{2}$ とする。このとき、$S = \arcsin{(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2})}$ を示す。

2. 解き方の手順

(1) まず、$2 \arctan{\frac{1}{5}}$ を計算する。$\arctan{\frac{1}{5}} = \theta$ とおくと、$\tan{\theta} = \frac{1}{5}$ である。$\tan{2\theta} = \frac{2\tan{\theta}}{1 - \tan^2{\theta}} = \frac{2(\frac{1}{5})}{1 - (\frac{1}{5})^2} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{5}{12}$ となる。

次に、$2\arctan{\frac{1}{5}} = \alpha$ とおくと、$\tan{\alpha} = \frac{5}{12}$である。$2\alpha = 4\arctan{\frac{1}{5}}$なので、$\tan{2\alpha} = \frac{2\tan{\alpha}}{1 - \tan^2{\alpha}} = \frac{2(\frac{5}{12})}{1 - (\frac{5}{12})^2} = \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = \frac{5 \cdot 24}{119} = \frac{120}{119}$ となる。

したがって、$4\arctan{\frac{1}{5}} = \beta$ とおくと、$\tan{\beta} = \frac{120}{119}$となる。

$\tan{(4\arctan{\frac{1}{5}} - \arctan{\frac{1}{239}})} = \frac{\tan{\beta} - \tan{(\arctan{\frac{1}{239}})}}{1 + \tan{\beta} \tan{(\arctan{\frac{1}{239}})}} = \frac{\frac{120}{119} - \frac{1}{239}}{1 + \frac{120}{119} \cdot \frac{1}{239}} = \frac{\frac{120 \cdot 239 - 119}{119 \cdot 239}}{\frac{119 \cdot 239 + 120}{119 \cdot 239}} = \frac{120 \cdot 239 - 119}{119 \cdot 239 + 120} = \frac{28680 - 119}{28441 + 120} = \frac{28561}{28561} = 1$ となる。

したがって、$4 \arctan{\frac{1}{5}} - \arctan{\frac{1}{239}} = \arctan{1} = \frac{\pi}{4}$となる。

(2) $S = \arcsin{x} + \arcsin{y}$ の両辺のサインをとると、$\sin{S} = \sin{(\arcsin{x} + \arcsin{y})} = \sin{(\arcsin{x})}\cos{(\arcsin{y})} + \cos{(\arcsin{x})}\sin{(\arcsin{y})} = x\cos{(\arcsin{y})} + y\cos{(\arcsin{x})}$となる。

$\cos{(\arcsin{x})} = \sqrt{1 - \sin^2{(\arcsin{x})}} = \sqrt{1 - x^2}$

$\cos{(\arcsin{y})} = \sqrt{1 - \sin^2{(\arcsin{y})}} = \sqrt{1 - y^2}$

よって、$\sin{S} = x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2}$ となる。

したがって、$S = \arcsin{(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2})}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $4 \arctan{\frac{1}{5}} - \arctan{\frac{1}{239}} = \frac{\pi}{4}$

(2) $S = \arcsin{(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2})}$