数列 $\{ \frac{a^n}{n!} \}$ (ただし、$a > 0$) の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{ \frac{a^n}{n!} \}$ (ただし、$a > 0$) の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を $a_n = \frac{a^n}{n!}$ とおきます。

数列の極限を求めるために、比 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ を計算します。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^n}{n!}} = \frac{a^{n+1}n!}{a^n(n+1)!} = \frac{a^{n+1}}{a^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = a \cdot \frac{n!}{(n+1)n!} = \frac{a}{n+1}$

次に、$n \to \infty$ のときの $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ の極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a}{n+1} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0 < 1$ なので、比の判定法より、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$ となります。

3. 最終的な答え

0