$x$-$y$平面上の2次元スカラー場 $z = y^2$ の勾配($\text{grad } z$)を計算し、その結果得られる2次元ベクトル場を第1象限から第4象限に図示する。

1. 問題の内容

$x$-$y$平面上の2次元スカラー場 $z = y^2$ の勾配($\text{grad } z$)を計算し、その結果得られる2次元ベクトル場を第1象限から第4象限に図示する。

2. 解き方の手順

まず、勾配を計算します。勾配は、各方向への偏微分を成分とするベクトルです。この場合、$x$と$y$の2方向があるので、以下のようになります。

$\text{grad } z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)$

ここで、$z = y^2$ なので、各偏微分を計算します。

$z$は$x$に依存しないので、$x$に関する偏微分は0です。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 0$

$z$を$y$で偏微分すると、

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$

したがって、勾配は次のようになります。

$\text{grad } z = (0, 2y)$

次に、このベクトル場を第1象限から第4象限に図示します。

ベクトル場は、各点$(x, y)$においてベクトル$(0, 2y)$を表示することで表されます。

つまり、$x$成分は常に0であり、$y$成分は$2y$です。

したがって、各点におけるベクトルは、$y$軸に平行で、$y$座標に比例した大きさを持つことになります。

* 第1象限 ($x > 0$, $y > 0$): ベクトルは上向き($y$成分は正)で、$y$が大きくなるほど長くなります。

* 第2象限 ($x < 0$, $y > 0$): ベクトルは上向き($y$成分は正)で、$y$が大きくなるほど長くなります。

* 第3象限 ($x < 0$, $y < 0$): ベクトルは下向き($y$成分は負)で、|$y$|が大きくなるほど長くなります。

* 第4象限 ($x > 0$, $y < 0$): ベクトルは下向き($y$成分は負)で、|$y$|が大きくなるほど長くなります。

* $y=0$のとき、ベクトルは $(0,0)$ となる。

3. 最終的な答え

$\text{grad } z = (0, 2y)$

得られたベクトル場は、$x$-$y$平面上で、各点$(x, y)$において$y$軸方向のベクトル$(0, 2y)$を示す。ベクトルの大きさは $2|y|$ であり、$y>0$では上向き、$y<0$では下向きとなる。