与えられた関数を微分し、空欄に適切な数字を埋める問題です。具体的には、合成関数の微分、指数関数、対数関数の微分を扱っています。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分し、空欄に適切な数字を埋める問題です。具体的には、合成関数の微分、指数関数、対数関数の微分を扱っています。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^3+1)^2$ の微分

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用いる。

$y' = 2(x^3+1)(3x^2) = 6x^2(x^3+1)$。 よって、1 に入るのは 6。

(2) $y = (3x+1)^3$ の微分

$y' = 3(3x+1)^2(3) = 9(3x+1)^2$。 よって、2 に入るのは 9。

(3) $y = (x^2+3)^5$ の微分

$y' = 5(x^2+3)^4(2x) = 10x(x^2+3)^4$。$(x^2+3)$ の指数が異なっていることに注意すると、$y' = 10x(x^2+3)^4$ となるので、修正すると $y' = 10x(x^2+3)^4$。すると問題文の$y'=34x(x^2+3)^5$とは違うので、問題文がおかしい。しかし、最も近いのは4。よって 3, 4 に入るのはそれぞれ 1 と 0。問題文は$(x^2+3)^4$が正しいと考えられる。

(4) $y = 3(x^2+1)^5$ の微分

$y' = 3 \cdot 5 (x^2+1)^4 (2x) = 30x(x^2+1)^4$。 よって、6 に入るのは 3、7 に入るのは 0。

(5) $y = (x^2+x+1)^5$ の微分

$y' = 5(x^2+x+1)^4 (2x+1)$。 よって、8 に入るのは 5, 9 に入るのは 4, 10 に入るのは 2。

(6) $y = e^{7x}$ の微分

$y' = 7e^{7x}$。 よって、11 に入るのは 7。

(7) $y = \log(x^2+1)$ の微分

$y' = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$。 よって、12 に入るのは 2。

(8) $y = e^{x^2+3x}$ の微分

$y' = e^{x^2+3x} (2x+3) = (2x+3)e^{x^2+3x}$。 よって、13 に入るのは 2、14 に入るのは 3。

3. 最終的な答え

1: 6

2: 9

3: 1

4: 0

5: 5

6: 3

7: 0

8: 5

9: 4

10: 2

11: 7

12: 2

13: 2

14: 3