問題は2つあります。 (1) 関数 $z = x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{3}{5}}$ の偏導関数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ をそれぞれ選択肢の中から選びます。 (2) 関数 $f(x,y) = 3x^2 + 2xy + y^2 + 4x$ を $y$ で偏微分したものを選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 関数 $z = x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{3}{5}}$ の偏導関数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ をそれぞれ選択肢の中から選びます。

(2) 関数 $f(x,y) = 3x^2 + 2xy + y^2 + 4x$ を $y$ で偏微分したものを選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を計算します。$y$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{3}{5}}) = y^{\frac{3}{5}} \frac{\partial}{\partial x} (x^{\frac{2}{5}}) = y^{\frac{3}{5}} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1} = \frac{2}{5} x^{-\frac{3}{5}} y^{\frac{3}{5}}$

よって $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2}{5} x^{-\frac{3}{5}} y^{\frac{3}{5}}$ です。

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算します。$x$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{2}{5}} \frac{\partial}{\partial y} (y^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{2}{5}} \cdot \frac{3}{5} y^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{3}{5} x^{\frac{2}{5}} y^{-\frac{2}{5}}$

よって $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{3}{5} x^{\frac{2}{5}} y^{-\frac{2}{5}}$ です。

(2)

$f(x,y) = 3x^2 + 2xy + y^2 + 4x$ を $y$ で偏微分します。$x$ は定数として扱います。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 + 2xy + y^2 + 4x) = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2) + \frac{\partial}{\partial y} (2xy) + \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + \frac{\partial}{\partial y} (4x) = 0 + 2x \frac{\partial}{\partial y} (y) + 2y + 0 = 2x + 2y$

よって $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x + 2y$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial z}{\partial x}$ として適当なものは

3. $\frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}}y^{\frac{3}{5}}$ であり、$\frac{\partial z}{\partial y}$ として適当なものは

6. $\frac{3}{5}x^{\frac{2}{5}}y^{-\frac{2}{5}}$ である。

(2) $f(x,y)$ を $y$ で偏微分したものとして正しい選択肢は

3. $2x + 2y$ である。