与えられた関数を微分せよ。 (1) $y = (3x-1)e^{2x}$ (2) $y = e^{-x}(e^{4x}+1)$ (3) $y = \frac{e^{-x}+1}{x}$ (4) $y = \frac{x+2}{e^{3x}+1}$ (5) $y = e^{\frac{1}{x}}$ (6) $y = \frac{1}{e^{x^2-x}}$ (7) $y = \frac{1}{(e^{-3x}+2)^6}$ (8) $y = \sqrt{e^{2x}+5}$

はい、承知いたしました。問題の微分を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分せよ。

(1) $y = (3x-1)e^{2x}$

(2) $y = e^{-x}(e^{4x}+1)$

(3) $y = \frac{e^{-x}+1}{x}$

(4) $y = \frac{x+2}{e^{3x}+1}$

(5) $y = e^{\frac{1}{x}}$

(6) $y = \frac{1}{e^{x^2-x}}$

(7) $y = \frac{1}{(e^{-3x}+2)^6}$

(8) $y = \sqrt{e^{2x}+5}$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で微分を計算します。

(1) $y = (3x-1)e^{2x}$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = 3x-1, v = e^{2x}$ とすると、

$u' = 3, v' = 2e^{2x}$

したがって、

$y' = 3e^{2x} + (3x-1)2e^{2x} = 3e^{2x} + (6x-2)e^{2x} = (6x+1)e^{2x}$

(2) $y = e^{-x}(e^{4x}+1)$

積の微分公式を用いる。

$u = e^{-x}, v = e^{4x}+1$ とすると、

$u' = -e^{-x}, v' = 4e^{4x}$

したがって、

$y' = -e^{-x}(e^{4x}+1) + e^{-x}(4e^{4x}) = -e^{3x} - e^{-x} + 4e^{3x} = 3e^{3x} - e^{-x}$

(3) $y = \frac{e^{-x}+1}{x}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。

$u = e^{-x}+1, v = x$ とすると、

$u' = -e^{-x}, v' = 1$

したがって、

$y' = \frac{-e^{-x}x - (e^{-x}+1)}{x^2} = \frac{-xe^{-x} - e^{-x} - 1}{x^2} = \frac{-(x+1)e^{-x} - 1}{x^2}$

(4) $y = \frac{x+2}{e^{3x}+1}$

商の微分公式を用いる。

$u = x+2, v = e^{3x}+1$ とすると、

$u' = 1, v' = 3e^{3x}$

したがって、

$y' = \frac{1(e^{3x}+1) - (x+2)3e^{3x}}{(e^{3x}+1)^2} = \frac{e^{3x}+1 - 3xe^{3x} - 6e^{3x}}{(e^{3x}+1)^2} = \frac{-5e^{3x}-3xe^{3x}+1}{(e^{3x}+1)^2} = \frac{-(3x+5)e^{3x}+1}{(e^{3x}+1)^2}$

(5) $y = e^{\frac{1}{x}}$

合成関数の微分公式を用いる。

$y' = e^{\frac{1}{x}} \cdot (\frac{1}{x})' = e^{\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

(6) $y = \frac{1}{e^{x^2-x}} = e^{-(x^2-x)}$

合成関数の微分公式を用いる。

$y' = e^{-(x^2-x)} \cdot (-(x^2-x))' = e^{-(x^2-x)} \cdot (-2x+1)(-1) = (2x-1)e^{-(x^2-x)} = \frac{2x-1}{e^{x^2-x}}$

(7) $y = \frac{1}{(e^{-3x}+2)^6} = (e^{-3x}+2)^{-6}$

合成関数の微分公式を用いる。

$y' = -6(e^{-3x}+2)^{-7} \cdot (e^{-3x}+2)' = -6(e^{-3x}+2)^{-7} \cdot (-3e^{-3x}) = 18e^{-3x}(e^{-3x}+2)^{-7} = \frac{18e^{-3x}}{(e^{-3x}+2)^7}$

(8) $y = \sqrt{e^{2x}+5} = (e^{2x}+5)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分公式を用いる。

$y' = \frac{1}{2}(e^{2x}+5)^{-\frac{1}{2}} \cdot (e^{2x}+5)' = \frac{1}{2}(e^{2x}+5)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2e^{2x}) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+5}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = (6x+1)e^{2x}$

(2) $y' = 3e^{3x} - e^{-x}$

(3) $y' = \frac{-(x+1)e^{-x} - 1}{x^2}$

(4) $y' = \frac{-(3x+5)e^{3x}+1}{(e^{3x}+1)^2}$

(5) $y' = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

(6) $y' = \frac{2x-1}{e^{x^2-x}}$

(7) $y' = \frac{18e^{-3x}}{(e^{-3x}+2)^7}$

(8) $y' = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+5}}$