与えられた極限 $\lim_{a \to 0} \frac{e^a - 1 - a}{a^2} = \frac{1}{2}$ を用いて、$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x})$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{a \to 0} \frac{e^a - 1 - a}{a^2} = \frac{1}{2}$ を用いて、$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理する。

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x \log(1+x)}$

ここで、$\log(1+x)$ のマクローリン展開を用いると、

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

したがって、

$x - \log(1+x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} - ...$

また、

$x \log(1+x) = x(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - ...$

したがって、求める極限は

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} - ...}{x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - ...} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{4} - ...}{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - ...} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$

別の解法として、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x \log(1+x)}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形である。

したがって、ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{\log(1+x) + \frac{x}{1+x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{1+x}}{\log(1+x) + \frac{x}{1+x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{(1+x)\log(1+x) + x}$

これも $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、再度ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\log(1+x) + 1 + \frac{1+x - x}{(1+x)^2} + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\log(1+x) + 2 + \frac{1}{(1+x)^2}}$

$= \frac{1}{0 + 2 + 1} = \frac{1}{3}$

ただし、与えられた極限 $\lim_{a \to 0} \frac{e^a - 1 - a}{a^2} = \frac{1}{2}$ を用いるという指示がある。

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x \log(1+x)}$

$e^a = 1 + a + \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{6} + ...$ なので、$e^a - 1 - a = \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{6} + ...$

$\frac{e^a - 1 - a}{a^2} = \frac{1}{2} + \frac{a}{6} + ...$

ここで、$x - \log(1+x)$ を考える。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$ なので、$x - \log(1+x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + ...$

$x - \log(1+x) = \frac{x^2}{2} + O(x^3)$

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$

$x \log(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4)$

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x \log(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + O(x^3)}{x^2 + O(x^3)} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

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