$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の(1), (2), (3)の方程式または不等式を解く問題です。 (1) $2\cos 2\theta + 1 = 0$ (2) $2\cos^2 \theta \le \sin \theta + 1$ (3) $\tan(2\theta - \frac{\pi}{2}) < -\sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の(1), (2), (3)の方程式または不等式を解く問題です。

(1) $2\cos 2\theta + 1 = 0$

(2) $2\cos^2 \theta \le \sin \theta + 1$

(3) $\tan(2\theta - \frac{\pi}{2}) < -\sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $2\cos 2\theta + 1 = 0$ を解く。

$\cos 2\theta = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$0 \le 2\theta < 4\pi$

$2\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi, \frac{8}{3}\pi, \frac{10}{3}\pi$

$\theta = \frac{1}{3}\pi, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$

(2) $2\cos^2 \theta \le \sin \theta + 1$ を解く。

$2(1 - \sin^2 \theta) \le \sin \theta + 1$

$2 - 2\sin^2 \theta \le \sin \theta + 1$

$0 \le 2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1$

$0 \le (2\sin \theta - 1)(\sin \theta + 1)$

$2\sin \theta - 1 \ge 0$ かつ $\sin \theta + 1 \ge 0$ または $2\sin \theta - 1 \le 0$ かつ $\sin \theta + 1 \le 0$

$\sin \theta \ge \frac{1}{2}$ または $\sin \theta \le -1$

$\sin \theta \ge \frac{1}{2}$ は $\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5}{6}\pi$

$\sin \theta \le -1$ は $\sin \theta = -1$ のみなので、$\theta = \frac{3}{2}\pi$

したがって、$\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5}{6}\pi$, $\theta = \frac{3}{2}\pi$

(3) $\tan(2\theta - \frac{\pi}{2}) < -\sqrt{3}$ を解く。

$2\theta - \frac{\pi}{2} = t$ とおくと、$\tan t < -\sqrt{3}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$0 \le 2\theta < 4\pi$

$-\frac{\pi}{2} \le 2\theta - \frac{\pi}{2} < \frac{7}{2}\pi$

$-\frac{\pi}{2} \le t < \frac{7}{2}\pi$

$\tan t < -\sqrt{3}$ を満たす $t$ は

$\frac{2}{3}\pi < t < \frac{\pi}{2}, \frac{5}{3}\pi < t < \frac{3}{2}\pi, \frac{8}{3}\pi < t < \frac{5}{2}\pi, \frac{11}{3}\pi < t < \frac{7}{2}\pi$

$\frac{2}{3}\pi < 2\theta - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2}, \frac{5}{3}\pi < 2\theta - \frac{\pi}{2} < \frac{3}{2}\pi, \frac{8}{3}\pi < 2\theta - \frac{\pi}{2} < \frac{5}{2}\pi, \frac{11}{3}\pi < 2\theta - \frac{\pi}{2} < \frac{7}{2}\pi$

$\frac{7}{12}\pi < \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{13}{12}\pi < \theta < \frac{5}{4}\pi, \frac{19}{12}\pi < \theta < \frac{13}{8}\pi, \frac{25}{12}\pi < \theta < \frac{17}{8}\pi$

$\frac{7}{12}\pi < \theta < \frac{3}{6}\pi, \frac{13}{12}\pi < \theta < \frac{15}{12}\pi, \frac{19}{12}\pi < \theta < \frac{26}{16}\pi, \frac{25}{12}\pi < \theta < \frac{51}{24}\pi$

最後の二つは$2\pi$を超えているので除外する。

$t = 2\theta - \frac{\pi}{2}$ より、$\tan t < -\sqrt{3}$ の解は、

$\frac{2\pi}{3} + n\pi < t < \frac{\pi}{2} + n\pi$ （$n$は整数）

$\frac{2\pi}{3} + n\pi < 2\theta - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + n\pi$

$\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + n\pi < 2\theta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + n\pi$

$\frac{7\pi}{6} + n\pi < 2\theta < \pi + n\pi$

$\frac{7\pi}{12} + \frac{n\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} + \frac{n\pi}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$n = 0, 1, 2, 3$

$n=0: \frac{7\pi}{12} < \theta < \frac{6\pi}{12}$　これは成り立たない。$\frac{\pi}{2}$と$\frac{6\pi}{12}$は同じだから。

$n=1: \frac{13\pi}{12} < \theta < \frac{12\pi}{12}$　これも成り立たない。$\pi$と$\frac{12\pi}{12}$は同じだから。

$\frac{2\pi}{3} + n\pi < 2\theta - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + n\pi$

$\frac{7\pi}{6} + n\pi < 2\theta < \pi + n\pi$

$\frac{7\pi}{12} + \frac{n\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} + \frac{n\pi}{2}$

$\frac{7\pi}{12} < \theta < \frac{\pi}{2}$, $\frac{13\pi}{12} < \theta < \pi$, $\frac{19\pi}{12} < \theta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{25\pi}{12} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{1}{3}\pi, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$

(2) $\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5}{6}\pi$, $\theta = \frac{3}{2}\pi$

(3) $\frac{7\pi}{12} < \theta < \frac{\pi}{2}$, $\frac{13\pi}{12} < \theta < \pi$, $\frac{19\pi}{12} < \theta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{25\pi}{12} < \theta < 2\pi$