関数 $x \log \frac{2}{x+2}$ の微分を求めます。ここで、$\log$ は自然対数（底が $e$）を表すものとします。

1. 問題の内容

関数 $x \log \frac{2}{x+2}$ の微分を求めます。ここで、$\log$ は自然対数（底が $e$）を表すものとします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y$ とおきます。

$y = x \log \frac{2}{x+2}$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。ここで $u = x$、 $v = \log \frac{2}{x+2}$ とおきます。

すると、$u' = 1$ となります。

次に、$v' = \frac{d}{dx} \log \frac{2}{x+2}$ を求めます。

$\frac{2}{x+2}$ の微分は、$\frac{d}{dx} \frac{2}{x+2} = \frac{d}{dx} 2(x+2)^{-1} = -2(x+2)^{-2} = -\frac{2}{(x+2)^2}$ となります。

次に、合成関数の微分を行います。

$v' = \frac{d}{dx} \log \frac{2}{x+2} = \frac{1}{\frac{2}{x+2}} \cdot \left( -\frac{2}{(x+2)^2} \right) = \frac{x+2}{2} \cdot \left( -\frac{2}{(x+2)^2} \right) = -\frac{1}{x+2}$

したがって、与えられた関数の微分は、

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \log \frac{2}{x+2} + x \cdot \left( -\frac{1}{x+2} \right) = \log \frac{2}{x+2} - \frac{x}{x+2}$

対数の性質を用いて式を整理します。

$\log \frac{2}{x+2} = \log 2 - \log (x+2)$

$y' = \log 2 - \log (x+2) - \frac{x}{x+2} = \log 2 - \log (x+2) - \frac{x+2-2}{x+2} = \log 2 - \log (x+2) - 1 + \frac{2}{x+2}$

3. 最終的な答え

$\log 2 - \log(x+2) - \frac{x}{x+2}$

または、

$\log 2 - \log(x+2) - 1 + \frac{2}{x+2}$