$x \log{\frac{2}{x+2}}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \log{\frac{2}{x+2}}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式と合成関数の微分公式を使用します。

積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

この問題では、$u=x$、$v=\log{\frac{2}{x+2}}$ とおきます。

まず、$u'= (x)' = 1$ です。

次に、$v'=(\log{\frac{2}{x+2}})'$ を計算します。

$\log$の中身の$\frac{2}{x+2}$は$2(x+2)^{-1}$と書き換えられます。

$\log(2(x+2)^{-1}) = \log{2} - \log{(x+2)}$です。

したがって、$v' = (\log{2} - \log{(x+2)})' = 0 - \frac{1}{x+2} = -\frac{1}{x+2}$です。

よって、

$(x \log{\frac{2}{x+2}})' = 1 \cdot \log{\frac{2}{x+2}} + x \cdot (-\frac{1}{x+2}) = \log{\frac{2}{x+2}} - \frac{x}{x+2}$です。

$\log{\frac{2}{x+2}} - \frac{x}{x+2} = \log{2} - \log{(x+2)} - \frac{x}{x+2}$

$\frac{x}{x+2} = \frac{(x+2)-2}{x+2} = 1 - \frac{2}{x+2}$ なので

$\log{2} - \log{(x+2)} - \frac{x}{x+2} = \log{2} - \log{(x+2)} - 1 + \frac{2}{x+2}$

3. 最終的な答え

$\log{\frac{2}{x+2}} - \frac{x}{x+2} = \log{2} - \log{(x+2)} - \frac{x}{x+2}$