与えられた6つの関数の定義域と値域を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{2x+3}$ (2) $y = \frac{3x}{2-x}$ (3) $y = 2x^2 - 1$ (4) $y = -3x^2 + 6x$ (5) $y = -\sqrt{1+x}$ (6) $y = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数の定義域と値域を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{2x+3}$

(2) $y = \frac{3x}{2-x}$

(3) $y = 2x^2 - 1$

(4) $y = -3x^2 + 6x$

(5) $y = -\sqrt{1+x}$

(6) $y = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{2x+3}$

* 定義域: 分母が0にならないように、$2x+3 \neq 0$ より $x \neq -\frac{3}{2}$。よって、定義域は $x < -\frac{3}{2}$ または $x > -\frac{3}{2}$。

* 値域: $y$ は0以外のすべての実数を取ることができる。なぜなら、$y = 0$ となる $x$ は存在しないからである。

値域は $y < 0$ または $y > 0$

(2) $y = \frac{3x}{2-x}$

* 定義域: 分母が0にならないように、$2-x \neq 0$ より $x \neq 2$。よって、定義域は $x < 2$ または $x > 2$。

* 値域: $y = \frac{3x}{2-x}$ を $x$ について解くと、 $y(2-x) = 3x$, $2y - xy = 3x$, $2y = 3x + xy$, $2y = x(3+y)$, $x = \frac{2y}{3+y}$。分母が0にならないように、$3+y \neq 0$ より $y \neq -3$。よって、値域は $y < -3$ または $y > -3$。

(3) $y = 2x^2 - 1$

* 定義域: すべての実数

* 値域: $x^2 \geq 0$ より $2x^2 \geq 0$。よって、 $2x^2 - 1 \geq -1$。したがって、値域は $y \geq -1$。

(4) $y = -3x^2 + 6x$

* 定義域: すべての実数

* 値域: $y = -3(x^2 - 2x) = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) = -3((x-1)^2 - 1) = -3(x-1)^2 + 3$。$(x-1)^2 \geq 0$ より、 $-3(x-1)^2 \leq 0$。よって、 $-3(x-1)^2 + 3 \leq 3$。したがって、値域は $y \leq 3$。

(5) $y = -\sqrt{1+x}$

* 定義域: 根号の中身が0以上である必要があるので、$1+x \geq 0$ より $x \geq -1$。

* 値域: $\sqrt{1+x} \geq 0$ より、 $-\sqrt{1+x} \leq 0$。したがって、値域は $y \leq 0$。

(6) $y = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

* 定義域: 根号の中身が正である必要があるので、$9-x^2 > 0$ より $x^2 < 9$。したがって、 $-3 < x < 3$。

* 値域: $-3 < x < 3$ より $0 \leq x^2 < 9$。よって、 $0 < 9-x^2 \leq 9$。したがって、 $0 < \sqrt{9-x^2} \leq 3$。ゆえに、 $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$。値域は $y \geq \frac{1}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) 定義域: $x < -\frac{3}{2}$ または $x > -\frac{3}{2}$, 値域: $y < 0$ または $y > 0$

(2) 定義域: $x < 2$ または $x > 2$, 値域: $y < -3$ または $y > -3$

(3) 定義域: すべての実数, 値域: $y \geq -1$

(4) 定義域: すべての実数, 値域: $y \leq 3$

(5) 定義域: $x \geq -1$, 値域: $y \leq 0$

(6) 定義域: $-3 < x < 3$, 値域: $y \geq \frac{1}{3}$