与えられた4つの数列の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n\to\infty} \frac{7n+3}{5n+2}$ (2) $\lim_{n\to\infty} \left( -\frac{5}{30} \right)^n$ (3) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{49n^2+3n}-7n)$ (4) $\lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{1}{2n} \right)^{10n}$

1. 問題の内容

与えられた4つの数列の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{7n+3}{5n+2}$

(2) $\lim_{n\to\infty} \left( -\frac{5}{30} \right)^n$

(3) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{49n^2+3n}-7n)$

(4) $\lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{1}{2n} \right)^{10n}$

2. 解き方の手順

(1) 分母と分子を$n$で割ります。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{7n+3}{5n+2} = \lim_{n\to\infty} \frac{7+\frac{3}{n}}{5+\frac{2}{n}} = \frac{7+0}{5+0} = \frac{7}{5}$$

(2) $-\frac{5}{30} = -\frac{1}{6}$なので、

$$\lim_{n\to\infty} \left( -\frac{5}{30} \right)^n = \lim_{n\to\infty} \left( -\frac{1}{6} \right)^n = 0$$

なぜなら、$|-\frac{1}{6}| = \frac{1}{6} < 1$だからです。

(3) 無理式を変形します。

\begin{align*} \label{eq:1} \lim_{n\to\infty} (\sqrt{49n^2+3n}-7n) &= \lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{49n^2+3n}-7n)(\sqrt{49n^2+3n}+7n)}{\sqrt{49n^2+3n}+7n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(49n^2+3n) - (49n^2)}{\sqrt{49n^2+3n}+7n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{\sqrt{49n^2+3n}+7n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{\sqrt{n^2(49+\frac{3}{n})}+7n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{n\sqrt{49+\frac{3}{n}}+7n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{3}{\sqrt{49+\frac{3}{n}}+7} \\ &= \frac{3}{\sqrt{49+0}+7} = \frac{3}{7+7} = \frac{3}{14}\end{align*}

(4)

$y=2n$とおくと、$n\to\infty$のとき、$y\to\infty$。

\begin{align*}\lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{1}{2n} \right)^{10n} &= \lim_{y\to\infty} \left( 1 - \frac{1}{y} \right)^{5y} \\ &= \lim_{y\to\infty} \left[ \left( 1 - \frac{1}{y} \right)^{y} \right]^5 \\ &= \left[ \lim_{y\to\infty} \left( 1 - \frac{1}{y} \right)^{y} \right]^5 \\ &= (e^{-1})^5 = e^{-5} = \frac{1}{e^5}\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{5}$

(2) $0$

(3) $\frac{3}{14}$

(4) $\frac{1}{e^5}$