次の4つの極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to -6} \frac{x^2 + 5x - 6}{x + 6}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 8x}{\sin^2 5x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{6x}{\arctan 7x}$ (4) $\lim_{x \to 0+0} \sqrt{x}(x^2)$

1. 問題の内容

次の4つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to -6} \frac{x^2 + 5x - 6}{x + 6}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 8x}{\sin^2 5x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{6x}{\arctan 7x}$

(4) $\lim_{x \to 0+0} \sqrt{x}(x^2)$

2. 解き方の手順

(1) まず、分子の $x^2 + 5x - 6$ を因数分解します。

$x^2 + 5x - 6 = (x+6)(x-1)$

したがって、

$\lim_{x \to -6} \frac{x^2 + 5x - 6}{x + 6} = \lim_{x \to -6} \frac{(x+6)(x-1)}{x + 6} = \lim_{x \to -6} (x-1) = -6 - 1 = -7$

(2) $1 - \cos 8x = 2\sin^2 4x$ を利用します。

また、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 8x}{\sin^2 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 4x}{\sin^2 5x} = \lim_{x \to 0} 2\frac{\sin^2 4x}{(4x)^2} \frac{(5x)^2}{\sin^2 5x} \frac{(4x)^2}{(5x)^2} = 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{16}{25} = \frac{32}{25}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{6x}{\arctan 7x} = \lim_{x \to 0} \frac{6x}{7x} \frac{7x}{\arctan 7x} = \frac{6}{7} \cdot 1 = \frac{6}{7}$

(4) $\lim_{x \to 0+0} \sqrt{x}(x^2) = \lim_{x \to 0+0} x^{1/2} x^2 = \lim_{x \to 0+0} x^{5/2} = 0$

3. 最終的な答え

(1) -7

(2) $\frac{32}{25}$

(3) $\frac{6}{7}$

(4) 0