与えられた極限を計算します。 問題3: $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{49n^2+3n}-7n)$ 問題4: $\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{2n})^{10n}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

問題3: $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{49n^2+3n}-7n)$

問題4: $\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{2n})^{10n}$

2. 解き方の手順

問題3:

まず、$\sqrt{49n^2+3n}-7n$ を変形します。共役な式を掛けて分母を払います。

$\sqrt{49n^2+3n}-7n = (\sqrt{49n^2+3n}-7n) \cdot \frac{\sqrt{49n^2+3n}+7n}{\sqrt{49n^2+3n}+7n} = \frac{(49n^2+3n) - (49n^2)}{\sqrt{49n^2+3n}+7n} = \frac{3n}{\sqrt{49n^2+3n}+7n}$

次に、分母と分子を $n$ で割ります。

$\frac{3n}{\sqrt{49n^2+3n}+7n} = \frac{3}{\sqrt{49+\frac{3}{n}}+7}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{3}{\sqrt{49+\frac{3}{n}}+7} = \frac{3}{\sqrt{49+0}+7} = \frac{3}{7+7} = \frac{3}{14}$

問題4:

$\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{2n})^{10n}$ を計算します。

$m = 2n$ とすると、$n = \frac{m}{2}$ です。 $n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ です。

$\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{2n})^{10n} = \lim_{m\to\infty} (1 - \frac{1}{m})^{10 \cdot \frac{m}{2}} = \lim_{m\to\infty} (1 - \frac{1}{m})^{5m} = \lim_{m\to\infty} ((1 - \frac{1}{m})^{m})^5$

$\lim_{m\to\infty} (1 - \frac{1}{m})^m = e^{-1}$ なので、

$\lim_{m\to\infty} ((1 - \frac{1}{m})^{m})^5 = (e^{-1})^5 = e^{-5} = \frac{1}{e^5}$

3. 最終的な答え

問題3: $\frac{3}{14}$

問題4: $\frac{1}{e^5}$