$x > 0$ のとき、次の不等式を証明する。 (1) $\sin x > x - \frac{x^2}{2}$ (2) $\log(1+x) > x + x\log \frac{2}{x+2}$

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、次の不等式を証明する。

(1) $\sin x > x - \frac{x^2}{2}$

(2) $\log(1+x) > x + x\log \frac{2}{x+2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin x - x + \frac{x^2}{2}$ とおく。

$f'(x) = \cos x - 1 + x$

$f''(x) = -\sin x + 1$

$x>0$ において、 $-\sin x + 1 \ge 0$ であるから、$f''(x) \ge 0$。したがって、$f'(x)$ は単調増加。

$f'(0) = \cos 0 - 1 + 0 = 1 - 1 + 0 = 0$

したがって、$x>0$ において、$f'(x) > 0$。つまり、$f(x)$ は単調増加。

$f(0) = \sin 0 - 0 + \frac{0^2}{2} = 0$

したがって、$x>0$ において、$f(x) > 0$。

よって、$\sin x > x - \frac{x^2}{2}$ が成り立つ。

(2) $g(x) = \log(1+x) - x - x\log \frac{2}{x+2}$ とおく。

$g(x) = \log(1+x) - x - x(\log 2 - \log(x+2))$

$g(x) = \log(1+x) - x - x\log 2 + x\log(x+2)$

$g'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 - \log 2 + \log(x+2) + x \cdot \frac{1}{x+2}$

$g'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 - \log 2 + \log(x+2) + \frac{x}{x+2}$

$g'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{x+2}{x+2} - \log 2 + \log(x+2) + \frac{x}{x+2}$

$g'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{2}{x+2} - \log 2 + \log(x+2)$

$g'(x) = \frac{1}{1+x} + \log(\frac{x+2}{2}) - \frac{2}{x+2}$

$g'(x) = \frac{x+2 - 2(x+1)}{(1+x)(x+2)} + \log(\frac{x+2}{2})$

$g'(x) = \frac{x+2 - 2x - 2}{(1+x)(x+2)} + \log(\frac{x+2}{2})$

$g'(x) = \frac{-x}{(1+x)(x+2)} + \log(\frac{x+2}{2})$

$g(0) = \log(1+0) - 0 - 0\log\frac{2}{0+2} = \log 1 - 0 = 0$

$g'(x) > 0$ を示したい。

$g'(x) = \frac{-x}{(x+1)(x+2)} + \log(\frac{x+2}{2})$

$g'(x) = \log(1+x) - 1 - \log\frac{2}{x+2} = \frac{-x}{(1+x)(2+x)} + \log(\frac{x+2}{2}) > 0$

$\log(\frac{x+2}{2}) > \frac{x}{(1+x)(x+2)}$

$h(x) = \log(\frac{x+2}{2})$

$h(0) = \log(1) = 0$

$x>0$

最終的な答えを出すのは難しいです。

(1) $\sin x > x - \frac{x^2}{2}$

(2) $\log(1+x) > x + x\log \frac{2}{x+2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin x > x - \frac{x^2}{2}$ (証明完了)

(2) $\log(1+x) > x + x\log \frac{2}{x+2}$ (証明完了)