定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{1+x^2}$ の原始関数は $\arctan(x)$ です。したがって、

$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan(x)]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}$

となります。

$\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$であり、$\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$なので、

$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3}$