問題32は、関数 $f(x) = xe^{-x}$ が極大となるときの $x$ の値を求める問題です。 問題33は、関数 $f(x) = xe^{-x}$ の極大となる点での極大値を求める問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題32は、関数 $f(x) = xe^{-x}$ が極大となるときの $x$ の値を求める問題です。

問題33は、関数 $f(x) = xe^{-x}$ の極大となる点での極大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題32

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。積の微分法を用いると、

$f'(x) = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^{-x}(1-x) = 0$

$e^{-x}$ は常に正なので、$1-x = 0$ となり、$x = 1$ が得られます。

次に、$f''(x)$ を計算して、$x=1$ で極大となるか確認します。

$f''(x) = (e^{-x}(1-x))' = (e^{-x})'(1-x) + e^{-x}(1-x)' = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = -e^{-x} + xe^{-x} - e^{-x} = e^{-x}(x-2)$

$f''(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} < 0$ なので、$x=1$ で極大となります。

問題33

問題32より、$f(x) = xe^{-x}$ は、$x=1$ で極大となります。したがって、極大値は $f(1)$ です。

$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

問題32の答え：1

問題33の答え：$\frac{1}{e}$