与えられた関数 $y = \sqrt[3]{e^{2x}}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt[3]{e^{2x}}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を指数を用いて表現します。

$y = \sqrt[3]{e^{2x}} = (e^{2x})^{\frac{1}{3}}$

次に、指数の性質を使って、関数をさらに簡略化します。

$y = e^{\frac{2x}{3}}$

ここで、合成関数の微分法を用います。$y = e^{u}$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$となります。

$u = \frac{2x}{3}$ とおくと、$y = e^u$

それぞれの微分を計算します。

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}$

これらの結果を使って、$y'$を計算します。

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} e^{\frac{2x}{3}}$

最後に、$e^{\frac{2x}{3}}$をもとの形に戻します。

$y' = \frac{2}{3} \sqrt[3]{e^{2x}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{2}{3} \sqrt[3]{e^{2x}}$