方程式 $\log x = -x^2 + 3x + k$ の異なる実数解の個数を調べる問題です。

1. 問題の内容

方程式 $\log x = -x^2 + 3x + k$ の異なる実数解の個数を調べる問題です。

2. 解き方の手順

この方程式の解の個数を求めるために、$y = \log x$ と $y = -x^2 + 3x + k$ のグラフの交点の個数を考えます。

$k$ の値を変化させたときに、交点の個数がどのように変化するかを調べます。

まず、$y = -x^2 + 3x + k$ のグラフについて考えます。これは上に凸な放物線であり、頂点の座標は

$x = -\frac{3}{2(-1)} = \frac{3}{2}$

です。

$x = \frac{3}{2}$ を代入すると

$y = -(\frac{3}{2})^2 + 3(\frac{3}{2}) + k = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + k = \frac{9}{4} + k$

したがって、頂点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{9}{4} + k)$ です。

$y = \log x$ のグラフは、$x > 0$ で定義され、単調増加です。

方程式の実数解の個数は、$y = \log x$ と $y = -x^2 + 3x + k$ のグラフの交点の個数に等しいので、グラフを描いて考察します。

$y = -x^2 + 3x + k$ を $k$ について整理すると $k = x^2 - 3x + \log x$ となります。

ここで、$f(x) = x^2 - 3x + \log x$ とおくと、$k$ の値によって、$y = f(x)$ と $y = k$ のグラフの交点の個数を考えることになります。

$f'(x) = 2x - 3 + \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x} = \frac{(2x-1)(x-1)}{x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = \frac{1}{2}, 1$ です。

$x > 0$ の範囲で、$f(x)$ の増減表は次のようになります。

| x | 0 | ... | 1/2 | ... | 1 | ... | ∞ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |

| f(x) | | ↑ | | ↓ | | ↑ | |

$f(1/2) = (1/2)^2 - 3(1/2) + \log(1/2) = 1/4 - 3/2 - \log 2 = -5/4 - \log 2$

$f(1) = 1 - 3 + \log 1 = -2$

$k$ の値によって、$y=f(x)$ と $y=k$ の交点の個数が変わります。

* $k < -5/4 - \log 2$ のとき、交点なし。

* $k = -5/4 - \log 2$ のとき、交点1個。

* $-5/4 - \log 2 < k < -2$ のとき、交点2個。

* $k = -2$ のとき、交点1個。

* $k > -2$ のとき、交点なし。

与えられた方程式 $\log x = -x^2 + 3x + k$ の解の個数は、上のグラフの交点の個数に対応します。

3. 最終的な答え

* $k < -5/4 - \log 2$ のとき、実数解の個数は0個

* $k = -5/4 - \log 2$ のとき、実数解の個数は1個

* $-5/4 - \log 2 < k < -2$ のとき、実数解の個数は2個

* $k = -2$ のとき、実数解の個数は1個

* $k > -2$ のとき、実数解の個数は0個