関数 $f(x) = \arcsin(2x)$ を微分し、正しい選択肢を選ぶ問題です。ここで、$\arcsin(x)$ は $\sin^{-1}(x)$ と同じ意味です。

## 問題 18

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \arcsin(2x)$ を微分し、正しい選択肢を選ぶ問題です。ここで、$\arcsin(x)$ は $\sin^{-1}(x)$ と同じ意味です。

2. 解き方の手順

$\arcsin(u)$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ です。

今回、$u = 2x$ なので、まず $\arcsin(2x)$ を $2x$ で微分します。

$\frac{d}{du} \arcsin(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

次に、$u = 2x$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (2x) = 2$

鎖の法則（chain rule）を用いると、$f(x) = \arcsin(2x)$ の微分は次のようになります。

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{du} \arcsin(u) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

## 問題 19

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2}{1+x^2}$ を積分し、正しい選択肢を選ぶ問題です（積分定数は省略）。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{1+x^2}$ の積分は $\arctan(x)$ です。

したがって、

$\int \frac{2}{1+x^2} dx = 2 \int \frac{1}{1+x^2} dx = 2 \arctan(x) + C$

積分定数は省略するので、$2 \arctan(x)$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

$2\arctan(x)$

(画像には問題19の選択肢がありません。もし選択肢があれば、この答えと照らし合わせてください。)