関数 $f(x) = \sin^{-1}(\frac{x}{2})$ を微分し、正しい選択肢を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin^{-1}(\frac{x}{2})$ を微分し、正しい選択肢を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

逆三角関数 $\sin^{-1}(x)$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ です。

今回は $\sin^{-1}(\frac{x}{2})$ なので、まず $\frac{x}{2}$ を $u$ と置くと、

$f(x) = \sin^{-1}(u)$となります。

$u = \frac{x}{2}$ なので、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}$ です。

$\sin^{-1}(u)$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ なので、

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}} \cdot \frac{1}{2}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{4-x^2}{4}}}$

$f'(x) = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$